8．已知函数f(x)＝(ln x－k－1)x(k∈R)．

　　(1)当x＞1时，求f(x)的单调区间和极值；

　　(2)若对于任意x∈[e，e2]，都有f(x)＜4ln x成立，求k的取值范围．

　　解：(1)f′(x)＝·x＋ln x－k－1＝ln x－k，

　　当k≤0时，因为x＞1，

　　所以f′(x)＝ln x－k＞0，

　　函数f(x)的单调增区间是(1，＋∞)，无单调减区间，无极值；

　　当k＞0时，令ln x－k＝0，解得x＝ek，

　　当1＜x＜ek时，f′(x)＜0；当x＞ek时，f′(x)＞0.

　　所以函数f(x)的单调减区间是(1，ek)，单调增区间是(ek，＋∞)，在区间(1，＋∞)上的极小值为f(ek)＝(k－k－1)ek＝－ek，无极大值．

　　(2)由题意，f(x)－4ln x＜0，

　　即问题转化为(x－4)ln x－(k＋1)x＜0对于x∈[e，e2]恒成立，

　　即k＋1＞对于x∈[e，e2]恒成立．

　　令g(x)＝，则g′(x)＝.

　　令t(x)＝4ln x＋x－4，x∈[e，e2]，

　　则t′(x)＝＋1＞0，

　　所以t(x)在区间[e，e2]上单调递增，

　　故t(x)min＝t(e)＝4＋e－4＝e＞0，故g′(x)＞0，

　　所以g(x)在区间[e，e2]上单调递增，

　　g(x)max＝g(e2)＝2－.

　　要使k＋1＞对于x∈[e，e2]恒成立，只要k＋1＞g(x)max，所以k＋1＞2－，

　　即实数k的取值范围为.