9.已知一个质点由定点A开始运动,在时间t的位移函数为y=f(t)=t3+3.

(1)当t1=4,Δt=0.01时,求Δy和比值 Δy/Δt;

(2)求t1=4时的导数.

解:(1)Δy=f(t1+Δt)-f(t1)=3t_1^2·Δt+3t1·(Δt)2+(Δt)3,故当t1=4,Δt=0.01时,Δy=0.481 201,Δy/Δt=48.120 1.

　　(2)lim┬(Δt"→" 0) Δy/Δt=(lim)┬(Δt"→" 0) [3t_1^2+3t1·Δt+(Δt)2]=3t_1^2=48,

　　故函数y=t3+3在t1=4处的导数是48,即y'"|" _(t_1=4)=48.

能力提升

1.如果一个物体的运动方程为s(t)=1-t+t2,其中s的单位是m,t的单位是s,那么物体在3 s末的瞬时速度是0(　　)

A.7 m/s B.6 m/s C.5 m/s D.8 m/s

解析:s'(3)=lim┬(Δt"→" 0) (s"(" 3+Δt")-" s"(" 3")" )/Δt=lim┬(Δt"→" 0) ("[" 1"-(" 3+Δt")" +"(" 3+Δt")" ^2 "]-(" 1"-" 3+3^2 ")" )/Δt=lim┬(Δt"→" 0) (5+Δt)=5(m/s).

答案:C

2.若f'(x0)=2,则 lim┬(k"→" 0) (f"(" x_0 "-" k")-" f"(" x_0 ")" )/2k 等于(　　)

A.-1 B.-2 C.1 D. 1/2

解析:∵f'(x0)=2,

　　∴(lim)┬(k"→" 0) (f"(" x_0 "-" k")-" f"(" x_0 ")" )/2k=-1/2 lim┬(k"→" 0) (f"(" x_0 "-" k")-" f"(" x_0 ")" )/("-" k)=-1/2×2=-1.

答案:A

3.若函数y=x2在x0到x0+Δx之间的平均变化率为k1,在x0-Δx到x0之间的平均变化率为k2,则k1与k2的大小关系为(　　)

A.k1>k2 B.k1

C.k1=k2 D.不确定

解析:∵k1=(f"(" x_0+Δx")-" f"(" x_0 ")" )/Δx=("(" x_0+Δx")" ^2 "-" x_0^2)/Δx=2x0+Δx,k2=(f"(" x_0 ")-" f"(" x_0 "-" Δx")" )/Δx=(x_0^2 "-(" x_0 "-" Δx")" ^2)/Δx=2x0-Δx,∴k1-k2=2Δx.

　　∵Δx可正可负,∴k1与k2的大小关系不确定.

答案:D

4.已知函数y=f(x)=-4x2+16x在x=x0处的导数为0,则x0为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4