【答案】(√5,√10)

6.已知F为双曲线x^2/a^2 -y^2/b^2 =1(a>0,b>0)的左焦点,定点A为双曲线虚轴的一个端点,过F,A两点的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B,若(AB) ⃗=3(FA) ⃗,则此双曲线的离心率为　　　　　.

　　【解析】因为F为双曲线x^2/a^2 -y^2/b^2 =1(a>0,b>0)的左焦点,定点A为双曲线虚轴的一个端点,

　　所以可设点F(-c,0),A(0,b),B(xB,yB),直线AF:y=b/cx+b.

　　由题意知,直线AF与渐近线y=b/ax相交.

　　联立两直线{■(y=b/c x+b"," @y=b/a x"," )┤消去x,得yB=bc/(c"-" a).

　　由(AB) ⃗=3(FA) ⃗,得yB=4b,所以bc/(c"-" a)=4b,解得离心率e=4/3.

　　【答案】4/3

7.从双曲线x2-y2=1上一点Q作直线x+y=2的垂线,垂足为N,求线段QN的中点P的轨迹方程.

　　【解析】设点P(x,y),Q(x0,y0),则点N(2x-x0,2y-y0),

　　代入x+y=2,得2x-x0+2y-y0=2.　①

　　因为PQ垂直于直线x+y=2,所以(y"-" y_0)/(x"-" x_0 )=1,

　　即x-y-x0+y0=0.　②

　　由①②得x0=3/2x+1/2y-1,y0=1/2x+3/2y-1.

　　由点Q(x0,y0)在双曲线x2-y2=1上,代入双曲线方程,得点P的轨迹方程为2x2-2y2-2x+2y=1.

拓展提升(水平二)

8.已知双曲线x^2/a^2 -y^2/b^2 =1(a>0,b>0),若存在过右焦点F的直线与双曲线交于A,B两点,且(AF) ⃗=3(BF) ⃗,则该双曲线离心率的最小值为(　　).

　　A.√2 B.√3 C.2 D.2√2

　　【解析】因为过右焦点的直线与双曲线C相交于A,B两点,且(AF) ⃗=3(BF) ⃗,所以直线与双曲线相交只能交于左、右两支,即A在左支,B在右支.设点A(x1,y1),B(x2,y2),右焦点F(c,0),因为(AF) ⃗=3(BF) ⃗,所以c-x1=3(c-x2),即3x2-x1=2c.因为x1≤-a,x2≥a,所以-x1≥a,3x2≥3a,所以3x2-x1≥4a,即2c≥4a,c/a≥2,即e≥2,故选C.

　　【答案】C

9.已知双曲线x^2/2-y^2/3=1上存在两点P,Q关于直线y=x+b对称,且PQ的中点M在直线2x+y-2=0上,则实数b的值为(　　).

　　A.-10 B.-8 C.-2 D.2

　　【解析】因为点P,Q关于直线y=x+b对称,所以线段PQ的垂直平分线的方程为y=x+b,所以直线PQ的斜率为-1.

　　设直线PQ的方程为y=-x+m,令点P(xP,yP),Q(xQ,yQ),M(xM,yM),由{■(y="-" x+m"," @x^2/2 "-" y^2/3=1"," )┤得x2+4mx-2m2-6=0,所以xP+xQ=-4m,所以xM=-2m,所以点M(-2m,3m).又因为PQ的中点M在直线2x+y-2=0上,所以-4m+3m-2=0,解得m=-2,由PQ的中点M也在直线y=x+b上,得b=5m,所以b=-10,故选A.

【答案】A