要点一　求函数在闭区间上的最值

例1　求下列各函数的最值：

(1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]；

(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．

解　(1)f′(x)＝－4x3＋4x，

令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得

x＝－1，x＝0，x＝1.

当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：

x －3 (－3，－1) －1 (－1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ 0 － f(x) －60  极大

值4  极小

值3  极大

值4  －5 ∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60；

当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.

(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，

∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，∴f(x)在[－1,1]上为增函数．故x＝－1时，f(x)最小值＝－12；

x＝1时，f(x)最大值＝2.

即f(x)的最小值为－12，最大值为2.

规律方法　(1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环．但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得．

①求出导数为零的点．

②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值．

(2)若函数在闭区间[a，b]上连续且单调，则最大、最小值在端点处取得．

跟踪演练1　求下列函数的最值：