解方程组{■(y=∛x "," @y=x^2 "," )┤得交点为O(0,0),A(1,1).

　　所求体积为两个旋转体的体积之差.

　　V=π∫_0^1▒ (∛x)2dx-π∫_0^1▒ (x2)2dx

　　=π(3/5 x^(5/3) ) "|" _0^1-π(1/5 x^5 ) "|" _0^1

　　=π×3/5-π×1/5=2π/5.

答案:2π/5

5.将由曲线y=2x2+1,直线x=1,x=2及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积为　　　　　.

解析:V=π∫_1^2▒ (2x2+1)2dx=π∫_1^2▒ (4x4+4x2+1)dx=π·(4/5 x^5+4/3 x^3+x) "|" _1^2=527π/15.

答案:527π/15 学 ZXXK]

6.若将由直线y=x+2和x=a(a>0)以及坐标轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得圆台的体积为56π/3,则a的值为　　　　　.

解析:∵V=π∫_0^a▒ (x+2)2dx=π∫_0^a▒ (x2+4x+4)dx

　　=π·(1/3 x^3+2x^2+4x) "|" _0^a

　　=π·(1/3 a^3+2a^2+4a)=56π/3,

　　∴a3+6a2+12a=56,

　　即(a+2)3=64,解得a=2. Z

答案:2

★7.将由双曲线x^2/a^2 -y^2/b^2 =1(a>0,b>0)与直线y=±b围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的几何体的体积为　　　　　.

解析:由x^2/a^2 -y^2/b^2 =1,得y2=b2(x^2/a^2 "-" 1).

当y=b时,x=±√2a.所以所求几何体的体积为V=πb2·2√2a-2π∫_a^(√2 a)▒ b2(x^2/a^2 "-" 1)dx