7. 证明：（1）由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得

　　a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca。

　　由题设得（a＋b＋c）2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，

　　所以3（ab＋bc＋ca）≤1，即ab＋bc＋ca≤。

　　（2）因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，

　　故＋＋＋（a＋b＋c）≥2（a＋b＋c），即＋＋≥a＋b＋c，

　　所以＋＋≥1。

　8. 证明：∵a，b，x，y都是正数，

　　∴（ax＋by）（bx＋ay）＝ab（x2＋y2）＋xy（a2＋b2）

　　≥ab（2xy）＋xy（a2＋b2）

　　＝（a＋b）2xy，

　　∵a＋b＝1，∴（a＋b）2xy＝xy，

　　（ax＋by）（bx＋ay）≥xy成立。

　9. 证明：（1），

　　∵a＋b＝1，a>0，b>0，

　　∴＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，

　　∴＋≥8（当且仅当a＝b＝时等号成立）．

　　（2）方法一：∵a>0，b>0，a＋b＝1，

　　∴1＋＝1＋＝2＋，

　　同理，1＋＝2＋，

　　∴≥5＋4＝9，

　　∴≥9（当且仅当a＝b＝时等号成立），

　　方法二　，

　　由（1）知，，故≥9。