【解析】假设点A在第一象限,点B在第四象限,则A(c"," b^2/a),B(c",-" b^2/a),所以|AB|=(2b^2)/a,|BC|=2c,由2|AB|=3|BC|,c2=a2+b2得离心率e=2或e=-1/2(舍去),所以双曲线E的离心率为2.

　　【答案】2

6.已知双曲线C:x^2/a^2 -y^2/b^2 =1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),A,B是圆(x+c)2+y2=4c2与双曲线C位于x轴上方的两个交点,且F1A∥F2B,则双曲线C的离心率为　　　　.

　　【解析】

　　由双曲线定义得AF2=2a+2c,BF2=2c-2a,因为F1A∥F2B,所以cos∠F2F1A=-cos∠F1F2B,

　　再利用余弦定理得

　　(4c^2+4c^2 "-(" 2a+2c")" ^2)/(2×2c×2c)

　　=-(4c^2+"(" 2c"-" 2a")" ^2 "-" 4c^2)/(2×2c×"(" 2c"-" 2a")" ),

　　化简得2e2-3e-1=0,又e>1,所以e=(3+√17)/4.

　　【答案】(3+√17)/4

7.已知双曲线的中心在原点,离心率为2,一个焦点F是(-2,0).

(1)求双曲线的方程;

(2)设Q是双曲线上一点,且过点F,Q的直线l与y轴交于点M,若|(MQ) ⃗|=2|(QF) ⃗|,求直线l的方程.

　　【解析】(1)由题意可设所求的双曲线方程为x^2/a^2 -y^2/b^2 =1(a>0,b>0),

　　∵e=c/a=2,c=2,∴a=1,∴b=√3,

　　∴所求的双曲线方程为x2-y^2/3=1.

　　(2)∵直线l与y轴相交于点M且过焦点F(-2,0),

　　∴直线l的斜率一定存在.

　　设直线l的方程为y=k(x+2),

　　令x=0,得点M(0,2k).

　　∵|(MQ) ⃗|=2|(QF) ⃗|且M,Q,F三点共线于l,∴(MQ) ⃗=2(QF) ⃗或(MQ) ⃗=-2(QF) ⃗.

　　当(MQ) ⃗=2(QF) ⃗时,xQ=-4/3,yQ=2/3k,∴Q("-" 4/3 "," 2/3 k).

　　又∵点Q在双曲线x2-y^2/3=1上,∴16/9-(4k^2)/27=1,∴k=±√21/2.

　　当(MQ) ⃗=-2(QF) ⃗时,

　　同理可将点Q(-4,-2k)代入双曲线方程,

得16-(4k^2)/3=1,∴k=±(3√5)/2,