§4　曲线与方程

4.1　曲线与方程

1.方程x2+xy=x的曲线是(　　)

A.一个点

B.一条直线

C.两条直线

D.一个点和一条直线

解析:x2+xy-x=0变形为x·(x+y-1)=0,即x=0或x+y-1=0.

答案:C

2.下列命题正确的是(　　)

A.方程 x/(y"-" 2)=1表示斜率为1,在y轴上的截距是2的直线

B.△ABC的顶点坐标分别为A(0,3),B(-2,0),C(2,0),则中线AO的方程是x=0

C.到x轴距离为5的点的轨迹方程是y=5

D.曲线2x2-3y2-2x+m=0通过原点的充要条件是m=0

解析:选项A中直线不过(0,2)点;选项B中中线AO是线段;选项C中轨迹方程应是y=±5.故选项A,B,C都错误,选D.

答案:D

3.已知A(1,0),B(-1,0),动点M(x,y)满足(AM) ⃗·(BM) ⃗=-1,则点M的轨迹是(　　)

A.一个点 B.一条直线

C.两条直线 D.圆

解析:(AM) ⃗·(BM) ⃗=(x-1,y)·(x+1,y)=(x-1)·(x+1)+y2=-1,整理得x2+y2=0,即x=0且y=0,故点M的轨迹为点(0,0),为一个点.

答案:A

★4.已知O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足(OP) ⃗=(OA) ⃗+λ((AB) ⃗/("|" (AB) ⃗"|" )+(AC) ⃗/("|" (AC) ⃗"|" )),λ∈[0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

解析:令 (AB) ⃗/("|" (AB) ⃗"|" )=e1,(AC) ⃗/("|" (AC) ⃗"|" )=e2,则由已知,得(OP) ⃗-(OA) ⃗=λ(e1+e2),即(AP) ⃗=λe1+λe2.以e1,e2为邻边的平行四边形是菱形.由平行四边形法则,知AP是∠BAC的平分线,故选B.

答案:B

5.已知0≤α<2π,点P(cos α,sin α)在曲线(x-2)2+y2=3上,则α的值为　　　　　　　.

解析:(cos α-2)2+sin2α=3,得cos α=1/2,

所以α=π/3 或 5π/3.