所以x+1/(x-1)≥3的充要条件是x>1，故答案为x>1.

【点睛】

本题主要考查不等式的性质以及充分条件与必要条件的应用，属于中档题.

10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若1≤a5≤4，2≤a6≤3，则S6的取值范围是________．

【答案】[－12,42]

【解析】由题知1≤a1＋4d≤4,2≤a1＋5d≤3，则S6＝6a1＋15d＝15(a1＋4d)－9(a1＋5d)，再由不等式的性质知S6∈[－12,42]．故填[－12,42].

点睛：本题是一道易错题，如果根据1≤a5≤4，2≤a6≤3分别求出的范围，再求S6＝6a1＋15d的范围，实际上是错误的.这里涉及到不等式取等的问题，可以利用线性规划的知识，也可以利用解答中的整体代入的方法.

三、解答题

11．已知a，b为正数，求证：

（1）若√a+1>√b则对于任何大于1的正数x，恒有ax+x/(x-1)>b成立；

（2）若对于任何大于1的正数x，恒有ax+x/(x-1)>b成立，则√a+1>√b.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】试题分析：

（1）将不等式左边变形为ax+x/(x-1)=a(x-1)+1/(x-1)+1+a，然后根据基本不等式证明即可．（2）由题意得[ax+x/(x-1)]_min>b，根据基本不等式可求得[ax+x/(x-1)]_min=〖(√a+1)〗^2，所以由〖(√a+1)〗^2>b可得结论成立．

试题解析：

（1）∵x>1，

∴x-1>0

∴ax+x/(x-1)=a(x-1)+1/(x-1)+1+a≥2√a+1+a=〖(√a+1)〗^2>b，

当且仅当a(x-1)=1/(x-1)，即x=1+√a/a时等号成立．

∴ ax+x/(x-1)>b．

（2）∵ax+x/(x-1)>b恒成立，

∴[ax+x/(x-1)]_min>b．

∵ax+x/(x-1)=a(x-1)+1+1/(x-1)+a≥2√a+1+a=〖(√a+1)〗^2，