当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式．

　　解析：　由f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d

　　得f′(x)＝ax2＋2bx＋c，

　　因为f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两个根分别为1,4，

　　所以(*)，

　　当a＝3时，(*)式为，

　　解得b＝－3，c＝12，

　　又因为曲线y＝f(x)过原点，所以d＝0，

　　故f(x)＝x3－3x2＋12x.

　　☆☆☆

　　9．(10分)(1)设f(x)＝x(x＋1)(x＋2)...(x＋n)，求f′(0)；

　　(2)利用导数求和：Sn＝1＋2x＋3x2＋...＋nxn－1(x≠0且x≠1，n∈N＋)．

　　解析：　(1)令g(x)＝(x＋1)(x＋2)...(x＋n)，

　　则f(x)＝x·g(x)，

　　∴f′(x)＝x′·g(x)＋x·g′(x)＝g(x)＋x·g′(x)，

　　∴f′(0)＝g(0)＝1×2×3×4×...×n.

　　(2)∵x＋x2＋x3＋...＋xn＝(x≠1且x≠0)．

　　对上式两边求导，得：1＋2x＋3x2＋...＋nxn－1

　　＝′＝，

　　∴Sn＝1＋2x＋3x2＋...＋nxn－1

　　＝.