7．解：不止一个公共点，除点A外还有公共点．

　　延长线段CD交平面β于点P，作直线PA，即是平面α与平面β的交线，∵P∈CD，CD⊂α，∴P∈α.

　　又∵P∈β，∴P是平面α和平面β的公共点．

　　∵A∈β且A∈α，

　　∴直线PA是平面α与平面β的交线．

　　8．解：∵P直线AB，

　　∴由点P与直线AB确定惟一平面ABP.如图，由AP∩α＝A1及BP∩α＝B1，知：平面ABP∩α＝A1B1，设直线AB∩α＝O，∴O∈α，O∈直线AB.

　　∴O∈平面ABP.∴O在平面ABP与平面α的交线上．∴O∈直线A1B1，即当P点任意移动时，直线A1B1总是过定点O.

　　百尺竿头 更进一步

　　证明：∵CC1BB1且CC1≠BB1，

　　∴C1B1BC为梯形，且BC，C1B1为两条腰．

　　∴BC，B1C1相交，并设交点为点E.同理AC，A1C1相交，AB与A1B1相交，分别设交点为F，G.

　　∵面AA1F∩面GEB＝AF，面AA1F∩面B1EG＝A1F，

　　∴F∈面BGE，且F∈面B1EG.又∵面B1EG∩面BGE＝GE，∴F∈GE，即F，G，E三点共线．