参考答案

1．（1）x-√3 y+1=0，〖(x-1)〗^2+y^2=9（2）4√2

【解析】

【分析】

(1)按照两角差的正弦公式和极坐标化为直角坐标的公式得到结果；（2）根据第一问得到的圆的普通方程可求得圆的圆心和坐标，再由垂径定理构造直角三角形,|AB|"=" 2√(r^2-d^2 )得到弦长.

【详解】

（1） 因为直线l的极坐标方程为：ρsin(θ-π/6)=1/2

所以ρ(sinθcos π/6-cosθsin π/6)=1/2，即为√3/2 ρsinθ-1/2 ρcosθ=1/2

因为{█(ρcosθ=x@ρsinθ=y) ，所以直线l的直角坐标方程为√3/2 y-1/2 x=1/2

即为x-√3 y+1=0

由曲线C的参数方程{█(x=1+3cosα@y=3sinα) 得，{█(x-1=3cosα@y=3sinα)

①〖^2〗 +②〖^2〗得〖(x-1)〗^2+y^2=9cos^2 α+9sin^2 α=9

所以曲线C的普通方程为〖(x-1)〗^2+y^2=9

（2） 由（1）得，圆C: 〖(x-1)〗^2+y^2=9的圆心为C(1,0)，半径r=3

因为圆心C到直线l:x-√3 y+1=0的距离d=(|1-0+1|)/√(1^2+〖(-√3)〗^2 )=1

所以直线l与圆C相交

设交点为A、B，则|AB|"=" 2√(r^2-d^2 ) "=" 2√(3^2-1^2 )=4√2

所以，相交弦的长度为4√2

【点睛】

这个题目考查了极坐标方程化为普通方程的方法，考查了直线参数中t的几何意义，一般t的绝对值表示方程中的定点到动点的距离，故|PA|+|PB|，|PA|-|PB|，|PA||PB|均可用t来表示，从而转化为韦达定理来解决.

2．（Ⅰ）, ．（Ⅱ） ．

【解析】试题分析：（Ⅰ）直接利用可得到曲线直角坐标方程，利用代入法消去参数即可得到直线的普通方程；（Ⅱ）在直角坐标系中设