为|x-4|-|x-3|≤|(x-4)-(x-3)|=1,

即f(x)的最大值等于1，所以a≥1.

答案：D

12.求证：.

思路分析：比较要证明的不等式左右两边的形式完全相同，易使我们联想到利用构造函数的方法，再用单调性去证明.

证明：设f(x)=,

定义域为{x|x∈R,且x≠-1},f(x)分别在(-∞,-1),(-1,+∞)上是增函数.

又0≤|a+b|≤|a|+|b|,

∴f(|a+b|)≤f(|a|+|b|),

即

∴原不等式成立.

13.已知f(x)=x2-2x+7,且|x-m|<3,求证：|f(x)-f(m)|<6|m|+15.

思路分析：f(x)-f(m)因式分解后，利用绝对值不等式的性质放缩.

证明：|f(x)-f(m)|=|(x-m)·(x+m-2)|

=|x-m|·|x+m-2|<3|x+m-2|

≤3(|x|+|m|+2).

又|x-m|<3,∴-3+m

∴3(|x|+|m|+2)<3(3+|m|+|m|+2)

=6|m|+15.

∴|f(x)-f(m)|<6|m|+15.

14.设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，当|x|≤1时，总有|f(x)|≤1,求证：|f(2)|≤8.

思路分析：本题可巧妙运用绝对值定理，对函数值进行放缩，注意到f(2)=4a+2b+c,故先求|a|,|b|,|c|的范围，从而求出|f(2)|≤8.

证明：由题设，知|f(0)|≤1,∴|c|≤1.①

又∵2b=f(1)-f(-1),

∴|2b|=|f(1)-f(-1)|≤|f(1)|+|f(-1)|≤2.

∴|b|≤1.②

∵2a=f(1)+f(-1)-2c,

∴|2a|=|f(1)+f(-1)-2c|≤|f(1)|+|f(-1)|+2|c|≤4,

∴|a|≤2.③

由①②③，得|f(2)|=|4a+2b+c|=|f(1)+3a+b|

≤|f(1)|+3|a|+|b|≤1+6+1=8.得证.