2．【2018年浙江卷】如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．

（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；

（Ⅱ）若P是半椭圆x2+y^2/4=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）[6√2, (15√10)/4]

【解析】分析: （Ⅰ）设P,A,B的纵坐标为y_0，y_1,y_2，根据中点坐标公式得PA,PB的中点坐标，代入抛物线方程，可得y_1+y_2=2y_0，即得结论，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得△PAB面积为1/2|PM||y_1-y_2 |，利用根与系数的关系可表示|PM|，|y_1-y_2 |为y_0的函数，根据半椭圆范围以及二次函数性质确定面积取值范围.

详解：（Ⅰ）设P(x_0,y_0)，A(1/4 y_1^2,y_1)，B(1/4 y_2^2,y_2)．因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y_1，y_2为方程，〖((y+y_0)/2)〗^2=4⋅(1/4 y^2+x_0)/2即y^2-2y_0 y+8x_0-y_0^2=0的两个不同的实数根．所以y_1+y_2=2y_0．因此，PM垂直于y轴．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知{█(y_1+y_2=2y_0,@y_1 y_2=8x_0-y_0^2,) ，所以|PM|=1/8(y_1^2+y_2^2)-x_0=3/4 y_0^2-3x_0，|y_1-y_2 |=2√(2(y_0^2-4x_0))．

因此，△PAB的面积S_(△PAB)=1/2|PM|⋅|y_1-y_2 |=(3√2)/4 〖(y_0^2-4x_0)〗^(3/2)．因为x_0^2+(y_0^2)/4=1(x_0<0)，所以y_0^2-4x_0=-4x_0^2-4x_0+4∈[4,5]．因此，△PAB面积的取值范围是[6√2, (15√10)/4]．

点睛：求范围问题，一般利用条件转化为对应一元函数问题，即通过题意将多元问题转化为一元问题，再根据函数形式，选用方法求值域，如二次型利用对称轴与定义区间位置关系，分式型可以利用基本不等式，复杂性或复合型可以利用导数先研究单调性，再根据单调性确定值域.