8．已知函数f(x)=a(x+1)lnx-x+1(a∈R)

（Ⅰ）当a=2时，求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

（Ⅱ）当a≥1/2时，求证：对任意的x≥1,f(x)≥0恒成立.

【答案】（1）3x-y-1=0（2）见解析

【解析】分析: （Ⅰ）当a=2时，写出f（x）的表达式，对f（x）进行求导，求出x=1处的斜率，再根据点斜式求出切线的方程；

（Ⅱ）由题意可知，对任意的x∈[1，+∞），使f（x）≥0成立，只需任意的x∈[1，+∞），f（x）min≥0，从而求出a的取值范围。

详解: （Ⅰ）由f(x)=2(x+1)lnx-x+1得f^' (x)=2lnx+2/x+1，

切点为(1,0)，斜率为f^' (1)=3，

所求切线方程为：y=3(x-1)，即3x-y-1=0；

（Ⅱ）证明：当a≥1/2时，f(x)=1/2 (x+1)lnx-x+1(x≥1)

欲证：f(x)≥0，注意到f(1)=0，只要f(x)≥f(1)即可

f^' (x)=a(lnx+1/x+1)-1(x≥1),

令g(x)=lnx+1/x+1(x≥1)，则g^' (x)=1/x-1/x^2 =(x-1)/x^2 ≥0(x≥1)

知g(x)在[1,+∞)上递增，有g(x)≥g(1)=2，所以f^' (x)≥2a-1≥0(a≥1/2)

可知f(x)在[1,+∞)上递增，于是有f(x)≥f(1)=0

综上，当a≥1/2时，对任意的x≥1,f(x)≥0恒成立．

点睛: 利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数h(x)=f(x)-g(x).根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.

9．已知函数f(x)=x+2/x,g(x)=1/x-alnx(a∈R).

（1）当a=1时，证明：f(x)≥g(x)+x+1；

（2）证明：存在实数a，使得曲线y=f(x)与y=g(x)有公共点，且在公共点处有相同的切线.

【答案】(1)见解析;(2)见解析.

【解析】分析：第一问先将题中所给的参数值代入，之后将1/x看做一个整体，将其代换，化作比较简单的式子，之后构造新函数，利用导数研究函数的单调性，最终求得结果；第二问设出公共点的横坐标，得到关于a,x_0的关系式，之后再构造一个新函数，借助于零点存在性定理得到有解，即可证得结果.

详解：（1）f(x)≥g(x)+x+1⇔1/x≥ln 1/x+1，令t=1/x，则有t≥lnt+1，

令h(t)=t-lnt-1⇒h^' (t)=1-1/t，所以h(t)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，

则h(t)≥h(1)=0，所以原命题成立；

（2）根据题意，即存在x_0,a满足：