设等边三角形边长为a，根据等边三角形面积公式，得√3/4 a^2=4√3,a=4.依题意得(CD) ⃑=(AD) ⃑-(AC) ⃑=2/3 (AB) ⃑-(AC) ⃑，所以(CD) ⃑⋅(AB) ⃑=(2/3 (AB) ⃑-(AC) ⃑ )⋅(AB) ⃑=2/3 (AB) ⃑^2-(AC) ⃑⋅(AB) ⃑ =2/3×4^2-4^2 cos "π" /3=32/3-8=8/3.

　　【点睛】

　　本小题主要考查等边三角形的面积公式，考查向量数量积模的表示方法，将所求向量转化为已知向量来求解，属于中档题.

　　15．3π

　　【解析】

　　作出可行域，目标函数可变为y=2x-z，令z=0，作出y=2x，由平移可知直线过(4,2)时z取最大值，则a=z_max=6．则∫_0^"π" ▒〖6cos^2 x/2 dx〗=∫_0^"π" ▒〖(3cosx+3)dx〗=3sinx|_0^"π" +3x|_0^"π" =3"π" ．故本题应填3"π" ．

　　16．6

　　【解析】

　　设AB=AC=x,AD=1/2 x，由题设可得cosA=(x^2+1/4 x^2-9)/x^2 =5/4-5/x^2 ，则sin^2 A=1-〖(5/4-5/x^2 )〗^2，故S_Δ^2=〖(1/2 x^2)〗^2 sin^2 A=1/4[x^4-〖(5/(4x^2 )-9)〗^2]，即S_Δ^2=1/4[x^4-〖(5/4 x^2-9)〗^2]=1/4[-9/16 x^4+45/2 x^2-81]，则当x^2=-(45/2)/(-9/8)=20时，〖(S_Δ^2)〗_max=1/4[-9/16×400+45/2×20-81]=1/4×144=36，即〖(S_Δ)〗_max=6，应填答案6。

　　点睛：本题以三角形中的边角关系为背景设置了求三角形面积的最大值问题。求解时，先运用余弦定理求得等腰三角形的顶角的余弦值，再运用三角函数中的平方关系求出其正弦值，然后依据三角形的面积公式，建立关于三角形的边长的函数关系，进而借助二次函数的图像和性质，分析探求出其最大值使得问题获解。

　　17．（1）π/3；（2）(7√39)/26.

　　【解析】

　　试题分析：（1）利用和差的正弦公式，即可求C；（2）若c=√13，且△ABC面积为3√3，求出a，b，三角形外接圆的直径，即可求sinA+sinB的值.

　　试题解析：（1）在ΔABC中，由2sin 7π/6 sin(π/6+C)+cosC=-sin(π/6+C)+cosC=-1/2，可得sin(π/6-C)-cosC=1/2，sin(C-π/6)=1/2，又∵-π/6

　　在ΔABC中，由余弦定理可知c^2=a^2+b^2-2abcosC，则a^2+b^2-ab=13，又S_ΔABC=1/2 absinC=3√3，可得ab=12，那么〖(a+b)〗^2-3ab=a^2+b^2-ab=13.可得a+b=7.由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=√13/(√3/2)=(2√39)/3.可得sinA+sinB=(a+b)/((2√39)/3)=7/((2√39)/3) (7√39)/26.

　　18．（1）见解析；（2）√6/4

　　【解析】

　　试题分析：证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化. 过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）就是异面直线所成的角。 （注：当所成角为90°时，两直线垂直。）求两条异面直线所成角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。 异面直线所成角的步骤一般是①平移其中一条或两条使其相交。②连接端点，使角在一个三角形中。③计算三条边长，用余弦定理计算余弦值。④若余弦值为负，则取其相反数。

　　试题解析：证明：∵ABCD是菱形∴

　　∵PA平面ABCD，BD平面ABCD，∴PABD

　　PAAC=A，PA平面PAC，AC平面PAC

　　∴BD平面PAC

　　（2）延长DA到E，使AE=DA，连接BE，PE，则AEBC

　　∴四边形AEBC为平行四边形

　　∴BE//AC，

　　∴BE与BP所成的角就是两异面直线所成的角即

　　在中， PA=2,AE=2,PAAE,∴PE=,BE=AC=,PB=

　　∴

考点：直线与平面垂直的判断及异面直线所成的角