即{■(1-2a+a=0,@-1/3+a-a+b=-7/12,)┤

解得{■(a=1,@b=-1/4.)┤

所以f(x)=1/3x3+x2+x-1/4.

所以f(2)=101/12.

答案:101/12

7.(2018·四川高考改编)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=　　　　.

【解题指南】求出f'(x),解出方程f'(x)=0的根,再根据不等式f'(x)>0,

f'(x)<0的解集得出函数的极值点.

【解析】f'(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),令f'(x)=0,得x=-2或x=2,易知f(x)在(-2,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,故f(x)的极小值为f(2),所以a=2. 答案:2

8.(2018·重庆高二检测)已知函数f(x)=1/3x3+ax2+x+1有两个极值点,则实数a的取值范围是　　　　.

【解析】f'(x)=x2+2ax+1,因为函数f(x)有两个极值点,所以方程

f'(x)=x2+2ax+1=0有两个不相等的实数根,所以Δ=4a2-4>0,解得a<-1或a>1.

答案:a<-1或a>1

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.(2018·烟台高二检测)设f(x)=e^x/(1+ax^2 ),其中a为正实数.

(1)当a=4/3时,求f(x)的极值点.

(2)若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围.

【解析】对f(x)求导得f'(x)=ex(1+ax^2-2ax)/((1+ax^2 )^2 ).

(1)当a=4/3时,若f'(x)=0,则4x2-8x+3=0,

解得x1=3/2,x2=1/2.