(2)可先让4人坐在4个位置上,有A_4^4种排法,再让2个"元素"(一个是2个作为一个整体的空位,另一个是单独的空位)插入4个人形成的5个空当之中,有A_5^2种插法,所以所求的坐法数为A_4^4·A_5^2=480.

拓展提升(水平二)

8.对所有满足1≤m≤n≤5的自然数m,n,方程x2+C_n^my2=1所表示的不同的椭圆的个数为(　　).

A.15 B.7 C.6 D.5

【解析】由于C_n^m的值不能为1,故m,n的值不能相同,可以从1,2,3,4,5这5个数中选出2个,有C_5^2种选法,较大的数赋值给n,较小的数赋值给m,但C_3^2=C_3^1,C_4^3=C_4^1,C_5^4=C_5^1,C_5^2=C_5^3,共4对值是相同的,故所表示的不同椭圆的个数为C_5^2-4=6.故选C.

【答案】C

9. 某公园有P,Q,R三只小船,P船最多可乘3 人,Q船最多可乘2人,R船只能乘1人.现有3 个大人和2个小孩打算同时分乘若干只小船,规定有小孩的船必须有大人,则不同的乘船方法共有(　　).

A.36种 B.33种 C.27种 D.21种

【解析】若2个小孩都乘P船,有C_3^1(C_2^2+A_2^2)=9种方法;若2小孩分别在P,Q两只小船上,则有A_2^2 C_3^1(C_2^2+A_2^2)=18种方法.由分类加法计数原理得共有9+18=27种不同的乘船方法.故选C.

【答案】C

10.如图,圆内的矩形及四条线段把圆分成A、B、C、D、E五部分,现有5种不同色彩可以给这五部分涂色,每部分涂1种颜色,要求相邻的两部分颜色互异,共有　　　　种不同的涂色方法.

【解析】依题意,给五部分涂色,至少要用三种颜色,故可分成三类涂色:

第一类,用5种颜色涂色,有A_5^5种方法;

第二类,用4种颜色涂色,选4种颜色的方法有C_5^4种,在涂的过程中,选相对的两部分(A、C或B、D)涂同色有C_2^1种选法,4种颜色涂上去有A_4^4种涂法,共C_5^4·C_2^1·A_4^4种涂法;

第三类,用3种颜色涂色,选颜色有C_5^3种选法,A、C与B、D与E各涂一色有A_3^3种涂法,共C_5^3·A_3^3种涂法.

所以共有涂色方法A_5^5+C_5^4·C_2^1·A_4^4+C_5^3·A_3^3=420种.

【答案】420

11.把4名男同志和4名女同志平均分成4组,到4辆公共汽车里售票,如果同样2人在不同汽车上服务算作不同情况.

(1)有几种不同的分配方法?

(2)每个小组必须是1名男同志和1名女同志有几种不同的分配方法?

(3)男同志与女同志分别分组,有几种不同的分配方法?

【解析】(1)男、女合在一起共有8人,每辆车上2人,可以分四个步骤完成:先安排2人上第一辆车,有C_8^2种;然后上第二辆车,有C_6^2种;再上第三辆车,有C_4^2种;最后上第四辆车,有C_2^2种.根据分步乘法计数原理,共有C_8^2 C_6^2 C_4^2 C_2^2=2520种不同的分配方法.

(2)要求男、女各1人,因此先把男同志安排上车,共有A_4^4种不同方法,同理,女同志也有A_4^4种方法,根据分步乘法计数原理,男、女各有1人上车的不同分配方法有A_4^4 A_4^4=576种.

(3)男、女分别分组,4名男同志平均分成两组共有(C_4^2 C_2^2)/(A_2^2 )=3种不同分法,4名女同志平均分成两组也有(C_4^2 C_2^2)/(A_2^2 )=3种不同分法,这样分组方法就有3×3=9种,对于其中每一种分法上4辆车,又有A_4^4种上法,因此不同分配方法种数为9A_4^4=216种.