6.已知双曲线C的中心为坐标原点,点F(2,0)是双曲线C的一个焦点,过点F作渐近线的垂线l,垂足为M,直线l交y轴于点E,若|FM|=3|ME|,则双曲线C的方程为　　　　.

　　【解析】设双曲线C的方程为x^2/a^2 -y^2/b^2 =1,由已知得|FM|=b,所以|OE|=√((4b/3)^2 "-" 4),所以√((4b/3)^2 "-" 4)/2=a/b,因为a2=4-b2,所以b2=3,a2=1,所以双曲线C的方程为x2-y^2/3=1.

　　【答案】x2-y^2/3=1

7.已知B(-5,0),C(5,0)是△ABC的两个顶点,且sin B-sin C=3/5sin A,求顶点A的轨迹方程.

　　【解析】由正弦定理得|AC|-|AB|=3/5|BC|=3/5×10=6.

　　又|AC|>|AB|,6<|BC|,则点A的轨迹是以B,C为焦点的双曲线的左支(除去左顶点).

　　由2a=6,2c=10,得a=3,c=5,b2=c2-a2=16,

　　故顶点A的轨迹方程为x^2/9-y^2/16=1(x<-3).

拓展提升(水平二)

8.椭圆y^2/49+x^2/24=1与双曲线y2-x^2/24=1有公共点P,则点P与双曲线两焦点连线构成的三角形的面积为(　　).

　　A.48 B.24 C.24√3 D.12

　　【解析】由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0,5)和F2(0,-5),又由椭圆与双曲线的定义可得{■("|" PF_1 "|" +"|" PF_2 "|" =14"," @" " PF_1 "|-|" PF_2 " " =2"," )┤解得{■("|" PF_1 "|" =8"," @"|" PF_2 "|" =6)┤或{■("|" PF_1 "|" =6"," @"|" PF_2 "|" =8"," )┤

　　又|F1F2|=10,所以△PF1F2为直角三角形,∠F1PF2=90°.

　　所以△PF1F2的面积S=1/2|PF1 PF2|=1/2×6×8=24.

　　【答案】B

9.已知方程x^2/(4"-" t)+y^2/(t"-" 1)=1表示的曲线为C.给出以下四个判断:

①当1

②当t>4或t<1时,曲线C表示双曲线;

③若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,则1

④若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线,则t>4.

其中判断正确的是　　　　.(只填正确命题的序号)

　　【解析】①错误,当t=5/2时,曲线C表示圆;②正确,若C为双曲线,则(4-t)(t-1)<0,∴t<1或t>4;③正确,若C为焦点在x轴上的椭圆,则4-t>t-1>0,∴10"," )┤∴t>4.

　　【答案】②③④

10.已知双曲线x^2/16-y^2/25=1的左焦点为F,点P为双曲线右支上一点,且PF与圆x2+y2=16相切于点N,M为线段PF的中点,O为坐标原点,则|MN|-|MO|=　　　　.

【解析】设F'是双曲线的右焦点,连接PF'(图略).