高中数学 第1章 导数及其应用 1.3.1 单调性自主练习 苏教版选修2-2

我夯基 我达标

1.已知f(x)=x2+2xf′(1),则f′(0)等于( )

A.0 B.-4 C.-2 D.2

思路解析：f′(x)=2x+2f′(1),可令x=1，则f′(1)=-2，∴f′(0)=-4.

答案:B

2.函数f(x)=ax3-x在R上为减函数，则( )

A.a≤0 B.a＜1 C.a＜2 D.a≤

思路解析：f′(x)=3ax2-1≤0恒成立，即a≤0.

答案:A

3.函数f(x)=1+x-sinx在(0,2π)上是( )

A.增函数 B.减函数

C.在(0,π)上增，在(π,2π)上减 D.在(0，π)上减，在(π,2π)上增

思路解析：f′(x)=1-cosx＞0恒成立，所以f(x)在(0，2π)上为增函数.

答案:A

4.若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则m的取值范围是________________.

思路解析：因为f(x)=x3+x2+mx+1在R上单调.

f′(x)=3x2+2x+m,由题意可知f(x)在R上只能递增,所以Δ=4-12m＜0.所以m＞.

答案:m＞

5.若函数f(x)=x3-px2+2m2-m+1的单调减区间为(-2,0),则p值的集合为_______________.

思路解析：∵f′(x)=3x2-2px,而g(x)=f′(x)=3x2-2px的图象为开口向上并过原点的抛物线,由于f(x)的单调减区间为(-2,0),∴g(x)在(-2,0)上为负值,在(-∞,-2)及(0,+∞)上为正值,故g(-2)=0,即12+4p=0.∴p=-3.

答案:{-3}

6.若直线y=kx与曲线y=x3-3x2相切,则k的值为______________.

思路解析：y′=3x2-6x的切点坐标为(x0,y0),则y0=3x02-6x0,又y0=x03-3x02.所以切点坐标为x0=0或x0=3±.∴k=0或3±.

答案:0或3±

我综合 我发展

7.设f(x)在R上是偶函数，在区间(-∞,0)上f′(x)＞0,且有f(2a2+a+1)＜f(-3a2+2a-1)，求a的取值范围.

思路分析:偶函数在对称区间上有相反的单调性,奇函数有相同的单调性,利用单调性进行转化需考虑范围.

解:∵在(-∞,0)上,f′(x)＞0,∴f(x)在(-∞,0)上为增函数.

又f(x)为偶函数，∴f(x)在(0,+∞)上为减函数，

且f(-3a2+2a-1)=f(3a2-2a+1).