令f′(x)＞0，解得x＞1，令f′(x)＜0，解得0＜x＜1，

所以f(x)在(0，1)上单调递减，

在(1，＋∞)上单调递增．

(2)F′(x)＝f(x)＝＋－3，

由(1)得∃x1，x2，满足0＜x1＜1＜x2，

使得f(x)在(0，x1)上大于0，在(x1，x2)上小于0，在(x2，＋∞)上大于0，

即F(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增，

而F(1)＝0，x→0时，F(x)→－∞，x→＋∞时，

F(x)→＋∞，

画出函数F(x)的草图，如图所示．

故F(x)在(0，＋∞)上的零点有3个．

1．已知函数f(x)＝(2－a)(x－1)－2ln x(a∈R)．

(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)在上无零点，求a的取值范围．

解：(1)当a＝1时，f(x)＝x－1－2ln x，

则f′(x)＝1－＝，

由f′(x)＞0，得x＞2，

由f′(x)＜0，得0＜x＜2，

故f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞)．

(2)因为f(x)＜0在区间上恒成立不可能，

故要使函数f(x)在上无零点，

只要对任意的x∈，f(x)＞0恒成立，

即对x∈，a＞2－恒成立．