间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．

　　11．C

　　【解析】

　　【分析】

　　由∠BAC=π/2，sin∠BAD=(2√7)/7可得sin∠DAC=cos∠BAD=√21/7,进而ΔABD,ΔADC中，由正弦定理建立方程即可解得CD的值.

　　【详解】

　　∵BC=2AC=2√3，∠BAC=π/2， sin∠BAD=(2√7)/7,

　　所以C=π/3,B=π/6，

　　∴cos∠BAD=√(1-sin^2∠BAD)=√21/7，

　　可得sin∠DAC=cos∠BAD=√21/7，

　　∵ΔABD中，由正弦定理可得AD=BDsinB/(sin∠BAD)，

　　ΔADC中，正弦定理可得AD=DCsinC/(sin∠DAC)，

　　∴((2√3-DC)×1/2)/((2√7)/7)=(DC×√3/2)/(√21/7)，解得DC=(2√3)/3，故选C.

　　【点睛】

　　本题主要考查直角三角形的性质以及正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.

　　12．D

　　【解析】

　　试题分析：设|F_1 F_2 |=2c,|AF_1 |=m，若ΔF_1 AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，∴|AB|=|AF_1 |=m，|BF_1 |=√2 m．由椭圆的定义可知ΔF_1 AB的周长为4a，∴4a=2m+√2 m，m=2(2-√2)a．∴|AF_2 |=2a-m=(2√2-2)a．∵〖|AF_1 |〗^2+〖|AF_2 |〗^2=〖|F_1 F_2 |〗^2，∴4〖(2-√2)〗^2 a^2+4〖(√2-1)〗^2 a^2=4c^2，∴e^2=9-6√2，e=√6-√3．

　　考点：椭圆的几何性质.

　　【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用、椭圆离心率的求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、转化与化归思想的应用，本题的解答中，若ΔF_1 AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，得出|AB|=|AF_1 |=m，|BF_1 |=√2 m，再由椭圆的定义，得到ΔF_1 AB的周长为4a，列出a,c的关系式，即可求解离心率.

　　13．

　　【解析】∵，

　　∴，

　　得．

　　故答案为： .

　　14．π/4

　　【解析】

　　【分析】

　　由(a ⃗-2b ⃗ )⊥a ⃗，利用数量积为零可求得t=2，从而得b ⃑=(1,2)，求得a ⃑⋅b ⃑=-1+6=5，利用cos⟨a ⃑,b ⃑ ⟩=(a ⃑⋅b ⃑)/|a ⃑ ||b ⃑ | =√2/2，从而可得结果.

　　【详解】

　　∵a ⃑=(-1,3),b ⃑=(1,t)，

　　则a ⃑-2b ⃑=(-1,3)-2(1,t)=(-3,3-2t)，

　　∵(a ⃑-2b ⃑ )⊥a ⃑,∴(a ⃑-2b ⃑ )⋅a ⃑=0，

　　即3+3×(3-2t)=0，解得t=2，

　　∴b ⃑=(1,2)，

　　则a ⃑⋅b ⃑=-1+6=5，

　　则cos⟨a ⃑,b ⃑ ⟩=(a ⃑⋅b ⃑)/|a ⃑ ||b ⃑ | =5/(√10×√5)=√2/2，

　　又∵⟨a ⃑,b ⃑ ⟩∈[0,π],∴⟨a ⃑,b ⃑ ⟩=π/4，故答案为π/4.

　　【点睛】

本题主要考查向量的夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是a ⃑⋅b ⃑=|a ⃑ ||b ⃑ |cosθ，二是a ⃑⋅b ⃑=x_1 x_2+y_1 y_2，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， cosθ