【解析】且的反面应为， 至少有一个不成立即或

三、解答题

11．若x,y为正实数且x+y>2.

求证: <2与<2中至少有一个成立.

【答案】见解析

【解析】试题分析：

条件中出现了"至少"，因此选择用反证法证明，即按照"反设、推理、得矛盾、否定矛盾得原结论成立"的方法进行证明．

试题解析：

假设<2与<2都不成立，则有≥2且≥2．

因x,y均为正数，

所以

两式相加得2+x+y≥2(x+y)，

所以x+y≤2，

与已知x+y>2矛盾．

所以假设不成立．

故原命题正确，即<2与<2中至少有一个成立．

点睛：

（1）对于含有"都是"、"都不是"、"至多"、"至少"形式的命题，或直接从正面入手难以寻觅解题的突破口的问题，证明时可考虑使用反证法．

（2）用反证法证明命题的基本步骤

①反设，设要证明的结论的反面成立．作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来，不要有遗漏；

②归谬，从反设出发，通过推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论；

③否定反设，从而得出原命题结论成立．

12．若a,b,c∈R,且a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+,求证:a,b,c中至少有一个大于0.

【答案】见解析

【解析】试题分析：

对于含有"至多"、"至少"的命题的证明，可用反证法证明．

试题解析：

假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，

则a+b+c≤0.

而a+b+c=++

=x2+y2+z2-2x-2y-2z+π