5.已知a,b,c>0，求证：aabbcc≥(abc).

思路分析：显然不等式两边为正，且是指数式，不妨设a≥b≥c，,则a-b,b-c,a-c∈R+,故尝试用作商比较法.

证明：等式关于a,b,c对称，不妨设a≥b≥c，则a-b,b-c,a-c∈R+，且,，都大于等于1.

≥1.

∴aabbcc≥(abc).

6.已知△ABC的三边长是a,b,c，且m为正数，求证：.

思路分析：直接证明不容易找到思路，选择分析法通过通分变形，用到三角形三边的关系:

∵a,b,c为三边长，∴a+b>c,问题得证.

证明：欲证原不等式成立，只要证：

a(b+m)(c+m)+b(a+m)(c+m)-c(a+m)(b+m)>0,

按m的降幂整理得,(a+b-c)m2+2abm+abc>0.

∵a,b,c为三边长，∴a+b>c.

又m>0,∴(a+b-c)m2+2abm+abc>0成立.

所以原不等式成立.

综合·应用

7.设f(x)=2x2+1,pq>0,p+q=1.求证:对任意实数a,b，恒有pf(a)+qf(b)≥f(pa+qb).

思路分析：通过作差变形得到2p(1-p)a2+2q(1-q)b2-4pqab+p+q-1，通过讨论，判断符号，发现证明思路，用综合法去证.

证明：考虑原式两边的差.

pf(a)+qf(b)-f(pa+qb)

=p(2a2+1)+q(2b2+1)-［2(pa+qb)2+1］

=2p(1-p)a2+2q(1-q)b2-4pqab+p+q-1. ①

∵p+q=1,pq>0,

∴①式=2pqa2+2pqb2-4pqab

=2pq(a-b)2≥0.

即原式成立.

8.设a、b、c∈{正实数}，证明：≥abc.

思路分析:通过观察不等式两边的特点，可轮换应用基本不等式，直接用综合法可证，也可用分析法证明.

证明：∵a2b2+b2c2≥2ab2c,a2b2+c2a2≥2a2bc,b2c2+c2a2≥2abc2,

∴2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2abc(a+b+c),