二、填空题

7．当0≤x≤1/2时，|ax-2x^3 |≤1/2恒成立，则实数a的取值范围是__________．

【答案】[-1/2,3/2]

【解析】

【分析】

本题可以先将不等式中的绝对值去掉，化成-1/2≤ax-2x^3≤1/2，再对x-2x^3≤1/2、-1/2≤ax-2x^3这两种情况进行分类讨论，通过移项和求导得出对应的值。

【详解】

因为当0≤x≤1/2时，|ax-2x^3 |≤1/2恒成立，

所以-1/2≤ax-2x^3≤1/2，

当ax-2x^3≤1/2时，ax≤2x^3+1/2，a≤2x^2+1/2x，

设f(x)=2x^2+1/2x，(f(x) ) ́=4x-1/(2x^2 )=(8x^3-1)/(2x^2 )≤0，

所以f(x)在0≤x≤1/2内恒为减函数，〖f(x)〗_min=f(1/2)=2(1/2)^2+1=3/2，

即a≤3/2 。

当-1/2≤ax-2x^3时，ax≥2x^3-1/2，a≥2x^2-1/2x，

设g(x)=2x^2-1/2x，(g(x) ) ́=4x+1/(2x^2 )=(8x^3+1)/(2x^2 )≥0

所以g(x)在0≤x≤1/2内恒为增函数,〖g(x)〗_max=g(1/2)=2(1/2)^2-1=-1/2，

即a≥-1/2 。

综上所述，-1/2≤a≤3/2。

【点睛】

本题是一到综合题，需要能够对含绝对值的不等式的求法有着一定的掌握以及对通过求导求最值有着足够的了解。

8． 经计算，发现下列不等式都是正确的：，根据以上规律，试写出一个对正实数成立的条件不等式________________

【答案】