【解析】设底面半径为r,高为h,则表面积S=2πrh+2πr2,由V=πr2h,所以h=V/(πr^2 ),则S=2V/r+2πr2.令S'=-2V/r^2 +4πr=0,得r=∛(V/2π),所以h=V/(πr^2 )=2∛(V/2π)=2r,此时,高与底面直径相等,表面积取得极小值,也是最小值,用料最省.

　　【答案】1∶1

11.请你为某养路处设计一个用于储藏食盐的仓库(供融化高速公路上的积雪之用).它的上部分是底面圆半径为5 m的圆锥,下部分是底面圆半径为5 m的圆柱,且该仓库的总高度为5 m.经过预算,制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为4百元/m2、1百元/m2,设圆锥母线与底面所成的角为θ,且θ∈(0"," π/4),问当θ为多少时,该仓库的侧面总造价(单位:百元)最少?并求出此时圆锥的高度.

　　【解析】设该仓库的侧面总造价为y百元,

　　则y=[2π×5×5"(" 1"-" tanθ")" ]×1+[1/2×2π×5×5/cosθ]×4=50π(1+(2"-" sinθ)/cosθ).

　　由y'=50π((2sinθ"-" 1)/(cos^2 θ))=0,得sin θ=1/2,θ∈(0"," π/4),

　　所以θ=π/6.

　　列表如下:

θ (0"," π/6) π/6 (π/6 "," π/4) y' - 0 + y ↘ 极小值 ↗ 　　

　　　　所以当θ=π/6时,侧面总造价y最小,此时圆锥的高度为(5√3)/3 m.