3.三个正数的算术-几何平均不等式

课后篇巩固探究

A组

1.若a>0,则2a+1/a^2 的最小值为(　　)

A.2√2 B.3∛2 C.1 D.3

解析2a+1/a^2 =a+a+1/a^2 ≥3∛(a"·" a"·" 1/a^2 )=3,当且仅当a=1/a^2 ,即a=1时,2a+1/a^2 取最小值3.

答案D

2.设x,y,z∈R+,且x+y+z=6,则lg x+lg y+lg z的取值范围是(　　)

A.(-∞,lg 6] B.(-∞,3lg 2]

C.[lg 6,+∞) D.[3lg 2,+∞)

解析因为x,y,z∈R+,所以6=x+y+z≥3∛xyz,即xyz≤8,所以lg x+lg y+lg z=lg xyz≤lg 8=3lg 2(当且仅当x=y=z=2时,等号成立).

答案B

3.已知x+2y+3z=6,则2x+4y+8z的最小值为(　　)

A.3∛6 B.2√2 C.12 D.12∛5

解析因为2x>0,4y>0,8z>0,所以2x+4y+8z=2x+22y+23z≥3∛(2^x "·" 2^2y "·" 2^3z )=3∛(2^(x+2y+3z) )=3×4=12.

　　当且仅当2x=22y=23z,即x=2y=3z,即x=2,y=1,z=2/3时,等号成立.

答案C

4.若a,b,c为正数,且a+b+c=1,则1/a+1/b+1/c的最小值为(　　)

A.9 B.8 C.3 D.1/3

解析∵a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,

　　∴1/a+1/b+1/c=(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c

　　=3+b/a+c/a+a/b+c/b+a/c+b/c

　　≥3+6√(6&b/a "·" c/a "·" a/b "·" c/b "·" a/c "·" b/c)

=3+6=9("当且仅当" b/a=c/a=a/b=c/b=a/c=b/c "," ┤