=(3x-ln x)"|" _(1/3)^1+(3x"-" 1/2 x^2 ) "|" _1^3

　　=3-(1"-" ln 1/3)+(9"-" 1/2×3^2 )-(3"-" 1/2)

　　=4-ln 3.

答案:4-ln 3

8.计算由y2=x,y=x2所围成图形的面积.

解如图,为了确定图形的范围,先求出这两条曲线的交点的横坐标.解方程组{■(y^2=x"," @y=x^2 "," )┤得出交点的横坐标为x=0或x=1.因此,所求图形的面积S=∫_0^1▒ (√x-x2)dx,又因为(2/3 x^(3/2) "-" 1/3 x^3 )'=x^(1/2)-x2,所以S=(2/3 x^(3/2) "-" 1/3 x^3 ) "|" _0^1=2/3-1/3=1/3.

9.有一根弹簧,原长50 cm,每伸长1 cm需要5 N力,如果把它从60 cm拉伸到80 cm长,那么拉力所做的功为多少?

解设弹簧弹力系数为k,则F(x)=kx.

　　由F(x)=5 N,x=1 cm知k=5.故F(x)=5x.

　　弹簧由50 cm伸长到80 cm时,弹簧实际伸长了30 cm,

　　此时拉力做的功为∫_0^30▒ F(x)dx=∫_0^30▒ 5xdx

　　=5/2x2"|" _0^30=5/2×900=2 250.

　　弹簧由50 cm伸长到60 cm时,弹簧实际伸长了10 cm,

　　此时拉力做功W=∫_0^10▒ F(x)dx=∫_0^10▒ 5xdx=5/2×100=250.

　　所以将弹簧从60 cm拉伸到80 cm长时,F(x)所做的功为2 250-250=2 000(N·cm)=20(J).

10.求抛物线y2=2x与直线y=4-x围成的平面图形的面积.

解由方程组{■(y^2=2x"," @y=4"-" x)┤得抛物线和直线的交点为(2,2)及(8,-4).

　　方法一:选x作为积分变量,由图可得S=S_(A_1 )+S_(A_2 ).

　　在A1部分:由于抛物线的上部分方程为y=√2x,下部分方程为y=-√2x,

　　所以S_(A_1 )=∫_0^2▒ [√2x-(-√2x)]dx

　　=2√2 ∫_0^2▒ x^(1/2)dx=2√2·2/3 x^(3/2) "|" _0^2=16/3.

　　S_(A_2 )=∫_2^8▒ [4-x-(-√2x)]dx

=(4x"-" 1/2 x^2+(2√2)/3 x^(3/2) ) "|" _2^8=38/3.