∵底面是边长为4的正方形，AA1＝3，

　　∴A1(4,0,0)，B(4,4,3)，C1(0,4,0)．

　　而面BB1D1D的法向量为＝＝(－4,4,0)，

　　∴BC1与对角面BB1D1D所成角的正弦值即为|cos〈，〉|＝＝＝.

　　3．选B　由于PA，PB，PC与平面α的夹角均相等，所以这三条由点P出发的平面ABC的斜线段相等，故它们在平面ABC内的投影P′A，P′B，P′C也都相等，故点P′是△ABC的外心．

　　4．选A　法一：如图，连接AC，交BD于点O，由正四棱柱的性质，有AC⊥BD.因为CC1⊥平面ABCD，所以CC1⊥BD.又CC1∩AC＝C，所以BD⊥平面CC1O.在平面CC1O内作CH⊥C1O，垂足为H，则BD⊥CH.又BD∩C1O＝O，所以CH⊥平面BDC1，连接DH，则DH为CD在平面BDC1上的射影，所以∠CDH为CD与平面BDC1所成的角．设AA1＝2AB＝2.在Rt△COC1中，由等面积变换易求得CH＝.在Rt△CDH中，sin∠CDH＝＝.

　　法二：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA1＝2AB＝2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则＝(0,1,0)，＝(1,1,0)，＝(0,1,2)．设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥，所以有

令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．设CD与平面BDC1的夹角为θ，则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝.