【解析】 ∵f(k)=12+22+...+(2k)2,
f(k+1)=12+22+...+(2k)2+(2k+1)2+(2k+2)2,
∴f(k+1)-f(k)=(2k+1)2+(2k+2)2,
即f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2.
【答案】 f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2
7.用数学归纳法证明:22(1)+32(1)+...+(n+1(1)>2(1)-n+2(1).假设n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是___________________________.
【解析】 当n=k+1时,目标不等式为:22(1)+32(1)+...+(k+1(1)+(k+2(1)>2(1)-k+3(1).
【答案】 22(1)+32(1)+...+(k+1(1)+(k+2(1)>2(1)-k+3(1)
8.用数学归纳法证明12+22+...+(n-1)2+n2+(n-1)2+...+22+12=3(n(2n2+1)时,由n=k的假设到证明n=k+1时,等式左边应添加的式子是__________.
【解析】 当n=k时,左边=12+22+...+(k-1)2+k2+(k-1)2+...+22+12.
当n=k+1时,左边=12+22+...+k2+(k+1)2+k2+(k-1)2+...+22+12,
所以左边添加的式子为(k+1)2+k2.
【答案】 (k+1)2+k2
三、解答题
9.用数学归纳法证明:1+3+...+(2n-1)=n2(n∈N+).
【证明】 (1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立.
(2)假设当n=k(k≥1)时,等式成立,即1+3+...+(2k-1)=k2,
那么,当n=k+1时,1+3+...+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2.
这就是说,当n=k+1时等式成立.
根据(1)和(2)可知等式对任意正整数n都成立.