拓展提升(水平二)

8.已知点M在抛物线y2=6x上,N为抛物线的准线l上的一点,F为抛物线的焦点,若(FN) ⃗=(MF) ⃗,则直线MN的斜率为(　　).

　　A.±√2 B.±1 C.±2 D.±√3

　　【解析】由题设可知点M,N,F三点共线,且点F是线段MN的中点,不妨设点M(x0,y0)(y0<0),N("-" 3/2 "," t)(t>0),F(3/2 "," 0),则x0=9/2,y0=-t.又点M(x0,y0)在抛物线上,所以y_0^2=6x0,即y0=-3√3,所以t=3√3.故直线MN的斜率k=-√3.

　　设y0>0,则t<0,同理可得MN的斜率k=√3,故选D.

　　【答案】D

9.已知点A(1,2)在抛物线C:y2=4x上,过点A作两条直线分别交抛物线于D,E两点,直线AD,AE的斜率分别为kAD,kAE,若直线DE过点P(-1,-2),则kAD·kAE=(　　).

　　A.4 B.3 C.2 D.1

　　【解析】设点D(x1,y1),E(x2,y2),

　　则kAD=(y_1 "-" 2)/(x_1 "-" 1),kAE=(y_2 "-" 2)/(x_2 "-" 1),

　　∴kAD·kAE=(y_1 "-" 2)/(x_1 "-" 1)·(y_2 "-" 2)/(x_2 "-" 1)=(y_1 y_2 "-" 2"(" y_1+y_2 ")" +4)/(x_1 x_2 "-(" x_1+x_2 ")" +1),　①

　　设直线DE:y+2=k(x+1),

　　联立方程{■(y^2=4x"," @y+2=k"(" x+1")," )┤

　　消去x,可得ky2-4y+4k-8=0.

　　∴y1+y2=4/k,y1y2=(4k"-" 8)/k.

　　∴x1+x2=(y_1+y_2+4"-" 2k)/k=(4+4k"-" 2k^2)/k^2 ,

　　x1x2=("(" y_1 y_2 ")" ^2)/16=(k^2 "-" 4k+4)/k^2 ,

　　代入①可得kAD·kAE=((4k"-" 8)/k "-" 2"·" 4/k+4)/((k^2 "-" 4k+4)/k^2 "-" (4+4k"-" 2k^2)/k^2 +1)=2.

　　【答案】C

10.已知南北方向有条公路L,A地在公路正东2 km处,B地在A地北偏东60°方向2√3 km处,河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路L和到A地距离相等.现要在曲线PQ上某处建一座码头,向A,B两地运货物.经测算,从M到A,B修建公路的费用都为a万元/km,那么,修建这两条公路的总费用最低是　　　　万元.

　　【解析】如图所示,由题意知,曲线PQ是以A为焦点、L为准线的抛物线,根据抛物线的定义,知欲求M到A,B修建公路的费用最低,只需求出B点到准线L的距离即可.∵B地在A地北偏东60°方向2√3 km处,∴B点到抛物线L的距离为2√3·sin 60°+2=5(km),∴修建这两条公路的总费用最低为5a万元.

　　【答案】5a

11.已知抛物线y2=4x的焦点为F,

(1)若直线l过点M(4,0),且点F到直线l的距离为2,求直线l的方程.

(2)设A,B为抛物线上两点,且AB不与x轴垂直,若线段AB中点的横坐标为2.求证:线段AB的垂直平分线恰过定点.

【解析】(1)由已知,x=4不合题意.