因此,x=e是函数的极大值点,极大值为f(e)=1/e,没有极小值.

10.设f(x)=2x3+ax2+bx+1的导数为f'(x),若函数y=f'(x)的图像关于直线x=-1/2对称,且f'(1)=0.

(1)求实数a,b的值;

(2)求函数f(x)的极值.

解:(1)因为f(x)=2x3+ax2+bx+1,所以f'(x)=6x2+2ax+b.

　　从而f'(x)=6(x+a/6)^2+b-a^2/6,即y=f'(x)关于直线x=-a/6对称,从而由题设条件知-a/6=-1/2,解得a=3.

　　又由于f'(1)=0,即6+2a+b=0,解得b=-12.

　　(2)由(1)知f(x)=2x3+3x2-12x+1,

　　f'(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2).

　　令f'(x)=0,即6(x-1)(x+2)=0,解得x1=-2,x2=1.

　　当x变化时,f'(x)与f(x)的变化情况如下表:

x (-∞,-2) -2 (-2,1) 1 (1,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 21 ↘ -6 ↗ 由表可知,函数f(x)在x1=-2处取得极大值f(-2)=21,在x2=1处取得极小值f(1)=-6.