则渐近线为y＝±x.

　　因为y＝x为双曲线C的一条渐近线，所以＝.

　　又两曲线有相同焦点，对于双曲线C：c＝2，所以a2＋b2＝4.

　　解得a2＝1，b2＝3.

　　所以双曲线C的方程为x2－＝1.

　　10．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点M(4，－)．

　　(1)求双曲线方程；

　　(2)若点N(3，m)在双曲线上，求证：\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)＝0；

　　(3)对于(2)中的点N，求△F1NF2的面积．

　　解：(1)因为e＝，故可设等轴双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，

　　因为过点M(4，－)，所以16－10＝λ，所以λ＝6.

　　所以双曲线方程为－＝1.

　　(2)证明：由(1)可知，在双曲线中，a＝b＝，所以c＝2.

　　所以F1(－2，0)，F2(2，0)．

　　所以\s\up6(→(→)＝(－2－3，－m)，\s\up6(→(→)＝(2－3，－m)．

　　所以\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)＝[(－2－3)·(2－3)]＋m2

　　＝－3＋m2.

　　因为点N(3，m)在双曲线上，所以9－m2＝6，所以m2＝3.

　　所以\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)＝0.

　　(3)因为△F1NF2的底|F1F2|＝4，高h＝|m|＝，所以△F1NF2的面积S＝6.

　　[B.能力提升]

　　1．设F1、F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为(　　)

　　A．3x±4y＝0 B．3x±5y＝0

　　C．4x±3y＝0 D．5x±4y＝0

　　解析：选C.设线段PF1的中点为M，由于|PF2|＝|F1F2|.故F2M⊥PF1，即|F2M|＝2a，在Rt △F1F2M中，|F1M|＝＝2b，故|PF1|＝4b，根据双曲线的定义得4b－2c＝2a，所以2b－a＝c，即(2b－a)2＝a2＋b2，化简得3b2－4ab＝0，即3b＝4a，故双曲线的渐近线方程是y＝±x，即4x±3y＝0.

　　2．已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P是以F1F2为直径的圆与该双曲线的一个交点，且∠PF1F2＝2∠PF2F1，则这个双曲线的离心率是(　　)

　　A. B.＋2

C.＋1 D.