(2)若被水浸湿的水渠侧边和水渠底面边长都等于a,当水渠侧边倾斜角Φ多大时,水流的横断面积为最大?

解：(1)依题意,侧边BC=h·(sinΦ)-1,设下底AB=x,则上底CD=x+2hcotΦ.

又S=(2x+2hcotΦ)h=(x+hcotΦ)h,

∴下底x=-hcotΦ.

∴横断面被水浸湿周长l=+(-hcotΦ)=(0<Φ<).

∴l′Φ=.

令l′Φ=0,解得cosΦ=,∴Φ=.

根据实际问题的意义,当Φ=时,水渠横断面被水浸湿的周长最小.

(2)设水渠高为h,水流横断面积为S,则S=(a+a+2acosΦ)·h= (2a+2acosΦ)·asinΦ=a2(1+cosΦ)·sinΦ(0<Φ<).

∴S′=a2［-sin2Φ+(1+cosΦ)cosΦ］=a2(2cosΦ-1)(cosΦ+1).

令S′=0,得cosΦ=或cosΦ=-1(舍),故在(0,)内,当Φ=时,水流横断面积最大,最大值为S=a2(1+cos)sin=a2.

30分钟训练 （巩固类训练，可用于课后）

1.函数f(x)=x3-3x(|x|<1)( )

A.有最大值,但无最小值 B.有最大值,也有最小值

C.无最大值,也无最小值 D.无最大值,但有最小值

答案：C

2.以长为10的线段AB为直径作半圆,则它的内接矩形面积的最大值为( )

A.10 B.15 C.25 D.50

答案：C

解析:如下图，

设∠NOB=θ，则矩形面积S=5sinθ·2·5cosθ=50sinθ·cosθ=25sin2θ.故S max=25.

3.已知函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1有极大值又有极小值,则a的取值范围是______________.

解析:f′(x)=3x2+6ax+3(a+2),则f′(x)=0有两个不等的实根,从而Δ=36a2-36(a+2)>0,

解之得a<-1或a>2.

答案:(-∞,-1)∪(2,+∞)