h'(x)=1/(1+x)-(2"(" 2+x+ax^2 ")-" 2x"(" 1+2ax")" )/("(" 2+x+ax^2 ")" ^2 )

=(x^2 "(" a^2 x^2+4ax+6a+1")" )/("(" x+1")(" ax^2+x+2")" ^2 ).

如果6a+1>0,则当0

且|x|0,故x=0不是h(x)的极大值点.

如果6a+1<0,则a2x2+4ax+6a+1=0存在根x1<0,故当x∈(x1,0),且|x|

如果6a+1=0,则h'(x)=(x^3 "(" x"-" 24")" )/("(" x+1")(" x^2 "-" 6x"-" 12")" ^2 ).

则当x∈(-1,0)时,h'(x)>0;

当x∈(0,1)时,h'(x)<0.

所以x=0是h(x)的极大值点,从而x=0是f(x)的极大值点.

综上,a=-1/6.

2.(2018·全国Ⅲ高考文科·T21)(12分)已知函数f(x)=(ax^2+x"-" 1)/e^x .

(1)求曲线y=f(x)在点(0",-" 1)处的切线方程.

(2)证明:当a≥1时,f(x)+e≥0.

【命题意图】考查函数与导数在应用中的求切线,证明不等式成立问题,意在考查函数性质、导数运算的掌握情况,培养学生的分类讨论思想与转化思想,以及运算能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.

【解析】(1)f(x)的定义域为R,f'(x)=("-" ax^2+"(" 2a"-" 1")" x+2)/e^x ,

显然f(0)=-1,即点(0,-1)在曲线y=f(x)上,