解是定值.因为每个面的面积为√3/4a2,

　　所以正四面体被分成以P为顶点,各侧面为底面的四个三棱锥,故√3/4a2(d1+d2+d3+d4)=√3/4a2·h(h为正四面体的高),即d1+d2+d3+d4=h(定值).

　　由立体几何知识求得h=√6/3a, 学 ]

　　故d1+d2+d3+d4=h=√6/3a(定值).

★9.(1)椭圆C:x^2/a^2 +y^2/b^2 =1(a>b>0)与x轴交于A,B两点,点P是椭圆C上异于A,B的任意一点,直线PA,PB分别与y轴交于点M,N,求证:(AN) ⃗·(BM) ⃗为定值b2-a2.

(2)类比(1)可得如下真命题:双曲线x^2/a^2 -y^2/b^2 =1(a>0,b>0)与x轴交于A,B两点,点P是双曲线C上异于A,B的任意一点,直线PA,PB分别与y轴交于点M,N,则(AN) ⃗·(BM) ⃗为定值,请写出这个定值(不要求写出解题过程).

解(1)证明如下:设点P(x0,y0)(x0≠±a),A(-a,0),B(a,0),所以直线PA的方程为y=y_0/(x_0+a)(x+a).令x=0,得yM=(ay_0)/(x_0+a).同理可得yN=-(ay_0)/(x_0 "-" a),所以yMyN=(a^2 y_0^2)/(a^2 "-" x_0^2 ).又点P(x0,y0)在椭圆上,所以(x_0^2)/a^2 +(y_0^2)/b^2 =1,因此y_0^2=b^2/a^2 (a2-x_0^2),所以yMyN=(a^2 y_0^2)/(a^2 "-" x_0^2 )=b2.因为(AN) ⃗=(a,yN),(BM) ⃗=(-a,yM),所以(AN) ⃗·(BM) ⃗=-a2+yMyN=b2-a2.

　　(2)-(a2+b2).

★10.

如图,已知O是△ABC内的任意一点,连接AO,BO,CO,并延长分别交对边于点A',B',C',则OA"'" /AA"'" +OB"'" /BB"'" +OC"'" /CC"'" =1.

这是平面几何中的一道题,其证明常采用"面积法".

OA"'" /AA"'" +OB"'" /BB"'" +OC"'" /CC"'" =S_("△" OBC)/S_("△" ABC) +S_("△" OCA)/S_("△" ABC) +S_("△" OAB)/S_("△" ABC) =S_("△" ABC)/S_("△" ABC) =1.

请运用类比思想,对于空间中的四面体V-BCD,存在什么类似的结论?并用体积法证明.