解析：函数的定义域为0≤x≤2,由y′==0,得x=1且当0＜x＜1时,

y′＞0,1＜x＜2时,y′＜0,

∴x=1为极值点.

3.下列结论中,正确的是（ ）

A.导数为零的点一定是极值点

B.如果在x0附近的左侧f′(x)＞0,右侧f′(x)＜0,那么f(x0)是极大值

C.如果在x0附近的左侧f′(x)＞0,右侧f′(x)＜0,那么f(x0)是极小值

D.如果在x0附近的左侧f′(x)＜0,右侧f′(x)＞0,那么f(x0)是极大值

答案：B

4.函数f(x)=x3-3bx+3b在（0，1）内有极小值，则b的取值范围是___________.

答案：0＜b＜1

解析：利用导数，由题设可得f′(x)=3x2-3b，若该函数在（0，1）内有极小值时，只需该二次函数的较大根在此区间内即可，即0＜b＜1,从而有0＜b＜1成立.

5.函数f(x)=x3-3a2x+a(a＞0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的范围是___________.

答案：a＞

解析:f′(x)=3x2-3a2=3(x-a)(x+a)(a＞0),

令f′(x)=0，得x=±a,

当-a＜x＜a时，f′(x)＜0,函数递减；

当x＞a或x＜-a时，f′(x)＞0,函数递增.

∴f(-a)=-a3+3a3+a＞0,f(a)=a3-3a3+a＜0,解得a＞.

6.若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1有极大值和极小值，求a的取值范围.

解：f(x)为三次函数，f′(x)为二次函数，f′(x)=3x2+6ax+3(a+2)，要使f(x)既有极大值又有极小值，需f′(x)=0有两个不相等的实数根，从而有Δ=(2a)2-4(a+2)＞0,解得a＜-1或a＞2.

∴a的取值范围是（-∞,-1)∪(2,+∞)

30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）

1.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于（1，0）点，则f(x)的（ ）

A.极大值为，极小值为0 B.极大值为0，极小值为-

C.极小值为，极大值为0 D.极小值为0，极大值为

答案：A

解析：∵f(x)与x轴切于（1，0）点，f′(x)=3x2-2px-q，

∴f′(1)=3-2p-q=0.又f(1)=1-p-q=0,

∴p=2,q=-1.∴f(x)=x3-2x2+x.

∴f(x)max=f()=,f(x)min=f(1)=0.

2.三次函数当x=1时有极大值4，当x=3时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是（ ）

A.y=x3+6x2+9x B.y=x3-6x2+9x