∴f′(0)=(-1)(-2)...(-100)=100×99×98×...×3×2×1.

6.曲线y=x3在点(a,a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x=a所围成的三角形的面积为,则a=_______________.

解析：∵y=x3,

∴y′=3x2.

∴y=x3在(a,a3)点的切线斜率k为3a2.

∴切线方程为y-a3=3a2(x-a),y=3a2x-2a3.

令3a2x-2a3=0,得x=a,即y=3a2x-2a3与x轴交点横坐标为a.

令x=a,得y=3a2×a-2a3=a3,即y=3a2x-2a3与x=a交点纵坐标为a3.

∴S△=×(aa)×a3=.∴a=±1.

答案：±1

7.已知直线l是曲线y=x3+x的切线中倾斜角最小的切线，则l的方程是_______________.

解析：∵y′=x2+1≥1，∴过点（0，0）且斜率为1的切线倾斜角最小.∴直线l的方程是y=x.

答案：y=x

8.已知f(x)=x2+ax+b,g(x)=x2+cx+d,又f(2x+1)=4g(x),且f′(x)=g′(x),f(5)=30,求g(4).

解：由f(2x+1)=4g(x),得4x2+2(a+2)x+(a+b+1)=4x2+4cx+4d.

于是有

由f′(x)=g′(x),得2x+a=2x+c,∴a=c.③

由f(5)=30,得25+5a+b=30.④

∴由①③可得a=c=2.由④得b=-5,再由②得d=.

∴g(x)=x2+2x.

故g(4)=16+8=.

9.设直线l1与曲线y=相切于P,直线l2过P且垂直于l1,若l2交x轴于Q点,又作PK垂直于x轴于K,求KQ的长.

解：先确定l2的斜率,再写出方程,设P(x0,y0),

则=y′| x=x0=.

由l2和l1垂直,故=-2,于是l2:y-y0=-2(x-x0),

令y=0,则-y0=-2(xQ-x0),

即-=-2(xQ-x0).