导数的实际应用

基础达标(水平一)

　　1.有一长为16 m的篱笆,要围成一个矩形场地,则此矩形场地的最大面积为(　　).

　　A.4 m2 B.8 m2 C.12 m2 D.16 m2

　　【解析】设矩形一边长为x(0

　　【答案】D

2.某厂生产某种产品x件的总成本C(x)=1200+2/75x3,且产品单价的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品的单价为50元.当总利润最大时,产量应定为(　　).

　　A.15件 B.20件 C.25件 D.30件

　　【解析】设产品单价为a元,又产品单价的平方与产品件数x成反比,所以a2x=k.

　　由题可知,k=250000,则a2x=250000,所以a=500/√x.

　　总利润y=500√x-2/75x3-1200(x>0),

　　y'=250/√x-2/25x2,令y'=0,得x=25,

　　当x∈(0,25)时,y'>0;当x∈(25,+∞)时,y'<0.所以当x=25时,y取得极大值,也是最大值.

　　【答案】C

3.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=ln x的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时,t的值为(　　).

　　A.1 B.1/2 C.√5/2 D.√2/2

　　【解析】令F(x)=f(x)-g(x)=x2-ln x,∴F'(x)=2x-1/x.令F'(x)=0,得x=√2/2或x=-√2/2(舍去),∴F(x)在x=√2/2处最小.

　　【答案】D

4.某公司生产一种产品,固定成本为20000元,每生产一单位的产品,成本增加100元,若总收入R与年产量x的关系是R(x)=-x^3/900+400x,0≤x≤390,则当总利润最大时,每年生产的产品单位数是(　　).

　　A.150 B.200 C.250 D.300

　　【解析】由题意可得总利润P(x)=-x^3/900+300x-20000,0≤x≤390,则P'(x)=-x^2/300+300.由P'(x)=0,得x=300.

　　当0≤x<300时,P'(x)>0;当300

　　【答案】D

5.面积为S的所有矩形中,其周长最小时的边长是　　　.

　　【解析】设矩形的长为x,则宽为S/x,周长y=2(x+S/x),y'=2(1"-" S/x^2 ),令y'=0,得x=√S.当0√S时,y'>0.所以当x=√S时周长最小.

　　【答案】√S

6.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品定价为P元,则销售量Q(单位:件)与定价P(单位:元)有如下关系:Q=8300-170P-P2.则该商品定价为　　　　元时,毛利润L最大.

　　【解析】由题意得L=P·Q-20Q=-P3-150P2+11700P-166000(P>0),∴L'=-3P2-300P+11700.

　　令L'=0,得P=30或P=-130(舍去).

　　当P∈(0,30)时,L'>0;

当P∈(30,+∞)时,L'<0,