5.若函数f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围．

解　f(x)＝2x3－6x＋k，

则f′(x)＝6x2－6，

令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1，

可知f(x)在(－1,1)上是减函数，

f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，

f(x)的极大值为f(－1)＝4＋k，

f(x)的极小值为f(1)＝－4＋k.

要使函数f(x)只有一个零点，

只需4＋k<0或－4＋k>0(如图所示)，

即k<－4或k>4.

∴k的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞).

易错点 对函数取极值的充要条件把握不准

6.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，求f(2)的值．

易错分析　应注意f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．如函数f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，尽管f′(0)＝0，但由于f(x)是增函数，故f(x)在x＝0处不存在极值．所以应对所得结果进行检验．

解　f′(x)＝3x2＋2ax＋b.

由题意，得即

解得或

当a＝4，b＝－11时，令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝－.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x － 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  极大值  极小值  显然函数f(x)在x＝1处取极小值，符合题意，此时f(2)＝18.

当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，

∴f(x)没有极值，不符合题意．