(A)4 (B)2 (C)1 (D)

解析:设抛物线方程为x2=2py(p>0),由题意知∠FAB=,延长AB交准线于C,故△AFC是正三角形,又点F到准线的距离为p,知|FC|=2p,△ABF的面积为,即×2p×p×sin =,得p=1,所以a=.

故选D.

5.(2015·全国Ⅰ卷)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|等于(　B　)

(A)3 (B)6 (C)9 (D)12

解析:因为抛物线C:y2=8x的焦点坐标为(2,0),准线l的方程为x=-2①,设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),所以椭圆E的半焦距c=2,又椭圆E的离心率为,所以a=4,b=2,椭圆E的方程为+=1②,联立①②,解得A(-2,3),B(-2,-3)或A(-2,-3),B(-2,3),所以|AB|=6,选B.

6.抛物线y2=4x的焦点弦被焦点分成长是m和n的两部分,则m与n的关系是(　A　)

(A)m+n=mn (B)m+n=4

(C)mn=4 (D)无法确定

解析:设抛物线焦点弦AB,A(x1,y1),B(x2,y2).

抛物线y2=4x的焦点为(1,0),

当焦点弦与抛物线的对称轴垂直时,m=2,n=2,

所以m+n=mn.

当焦点弦与抛物线的对称轴不垂直时,

设焦点弦所在直线方程为y=k(x-1)(k≠0).

把y=k(x-1)代入y2=4x并整理

得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,

所以x1x2=1.

因为m=x1+1,n=x2+1,所以x1=m-1,x2=n-1,

代入x1x2=1,得(m-1)(n-1)=1,