故f′(x)＝－＋.

由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f′(1)＝0，从而a－＋＝0，解得a＝－1.

(2)由(1)知f(x)＝－ln x＋＋x＋1(x>0)，

f′(x)＝－－＋＝＝.

令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－(因为x2＝－不在定义域内，舍去)．

当x∈(0，1)时，f′(x)<0，故f(x)在(0，1)上为减函数；

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．

故函数f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3.

[能力提升]

已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝________．

解析：函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，等价于函数的极大与极小值中恰有一个为0，函数的导数为y′＝3x2－3，令y′＝3x2－3＝0，解得x＝±1，可知极大值为f(－1)＝2＋c，极小值为f(1)＝c－2.由f(－1)＝2＋c＝0，解得c＝－2，由f(1)＝c－2＝0，解得c＝2，所以c＝－2或c＝2.

答案：－2或2

已知函数f(x)＝x3＋x2－2x＋m的图象不经过第四象限，则实数m的取值范围是________．

解析：由于f′(x)＝x2＋x－2，令f′(x)＝0，

得x＝－2或x＝1.

当x<－2时，f′(x)>0，f(x)是增函数；

当－2

当x>1时，f′(x)>0，f(x)是增函数，

∴f(x)在x＝－2时取得极大值，且f(－2)＝＋m；

f(x)在x＝1时取得极小值，且f(1)＝－＋m，

因此要使函数f(x)的图象不经过第四象限，应使其极小值不小于零，即－＋m≥0，m≥，故m的取值范围是m≥.

答案：m≥

设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝－对称，且f′(1)＝0.

(1)求实数a，b的值；

(2)求函数f(x)的极值．

解：(1)因为f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1，故f′(x)＝6x2＋2ax＋b.

从而f′(x)＝6(x＋)2＋b－，即y＝f′(x)关于直线x＝－对称，从而由题设条件知－＝－，解得a＝3.又由于f′(1)＝0，即6＋2a＋b＝0，解得b＝－12.

所以，实数a，b的值分别为3，－12.

(2)由(1)知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1，

f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)．

令f′(x)＝0，即6(x－1)(x＋2)＝0，

解得x1＝－2，x2＝1.