1.2 基本不等式

一、单选题

1．设正实数x，y满足x>1/2，y>1，不等式(4x^2)/(y-1)+y^2/(2x-1)≥m恒成立，则m的最大值为（ ）

A．2√2 B．4√2 C．8 D．16

【答案】C

【解析】

设a=2x-1,b=y-1

因为x>1/2，y>1，∴a>0,b>0 且y=b+1,x=1/2(a+1) ，

则(4x^2)/(y-1)+y^2/(2x-1)=〖(a+1)〗^2/b+〖(b+1)〗^2/a≥2√((〖(a+1)〗^2 〖(b+1)〗^2)/ab)=2×(√ab+1/√ab+(a+b)/√ab)

≥2×(2√(√ab×1/√ab)+(2√ab)/√ab)2×(2+2)=8

当且仅当a=b=1 ，即x=2,y=1 时取等号，所以m≤8 故选C.

点睛：本题主要考查基本不等式，在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.

2．设a＞1，b＞0，若a+b=2，则的最小值为（ ）

A．3+2 B．6 C．4 D．

【答案】A

【解析】试题分析：变形利用基本不等式即可得出．

解：∵a＞1，b＞0，a+b=2，

∴a﹣1＞0，a﹣1+b=1．

∴==3+=3+2．

当且仅当b=（a﹣1），a+b=2，

即a=，b=2﹣时取等号．

∴的最小值为．