令f′(x)=0,则x=-m或x=m.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-m) -m m f′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴f(x)极大值=f(-m)=-m3+m3+2m3-4=-,
∴m=1.
12.解 (1)f′(x)=3x2-2x-1.
令f′(x)=0,则x=-或x=1.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-) - (-,1) 1 (1,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以f(x)的极大值是f(-)=+a,
极小值是f(1)=a-1.
(2)函数f(x)=x3-x2-x+a=(x-1)2(x+1)+a-1,
由此可知,x取足够大的正数时,
有f(x)>0,x取足够小的负数时,有f(x)<0,
所以曲线y=f(x)与x轴至少有一个交点.
由(1)知f(x)极大值=f(-)=+a,
f(x)极小值=f(1)=a-1.
∵曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点,
∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0,
即+a<0或a-1>0,
∴a<-或a>1,
∴当a∈(-∞,-)∪(1,+∞)时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点.
13.解 (1)当a=0时,f(x)=x2ex,f′(x)=(x2+2x)ex,
故f′(1)=3e.
(2)f′(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a]ex.
令f′(x)=0,解得x=-2a或x=a-2,