根据点在椭圆上，得关于点M的方程y_0^2=(b^2 (a^2-x_0^2 ))/a^2 ，然后根据直线的斜率公式，表示出直线AM,BM的斜率及它们的积k_AM⋅k_BM=-b^2/a^2 ，再根据离心率和椭圆中a，b，c的关系，求解即可.

　　【详解】

　　设椭圆上点M坐标为(x_0,y_0 ) ，则〖x_0〗^2/a^2 +〖y_0〗^2/b^2 ＝1，即y_0^2=(b^2 (a^2-x_0^2 ))/a^2

　　已知A(-a，0),B(a，0)，则k_AM=y_0/(x_0+a),k_BM=y_0/(x_0-a),

　　则k_AM⋅k_BM=y_0/(x_0+a)⋅y_0/(x_0-a)=(y_0^2)/(x_0^2-a^2 )=((b^2 (a^2-x_0^2 ))/a^2 )/(x_0^2-a^2 )=-b^2/a^2 ,

　　已知椭圆E的离心率为√3/3，则c/a=√3/3 ，则a^2=3c^2,

　　再根据椭圆a^2=b^2+c^2 ，可得b^2=2c^2,

　　故k_AM⋅k_BM=-b^2/a^2 =-2/3

　　故选A.

　　【点睛】

　　本题考查了椭圆的几何性质，涉及了椭圆的离心率和椭圆方程a，b，c的关系，涉及了点在椭圆上的应用，涉及了直线的斜率公式；通常情况下，可根据离心率公式和椭圆中a，b，c的关系，列出关于a，b，c的方程组，再结合其他条件求解.

　　12．D

　　【解析】

　　【分析】

　　根据题意设出直线方程y=x+b，通过与椭圆方程联立，得一元二次方程，然后利用一元二次方程根的判别式判断b的取值范围，再利用一元二次方程的根与系数的关系和中点坐标公式，求得点M的坐标，进而利用两点间的距离公式和b的取值范围求解.

　　【详解】

　　设直线方程为y=x+b，联立椭圆方程得{█(y=x+b@x^2/4+y^2/3=1) ，

　　整理得7x^2+8bx+4b^2-12=0，

　　根据直线与椭圆有两个交点，可知△=64b^2-4×7×(4b^2-12)=-48b^2+336>0 ，

　　解得-√7

　　故点M的坐标为(-4b/7,3b/7) ，

　　∵|OM|=√(("-" 4b/7 "-" 0)^2 "+" (3b/7 "-" 0)^2 ) "=" 5/7 |"b" | ，

　　∴0≤|OM|<(5√7)/7,故选D .

　　【点睛】

　　本题考查了椭圆与直线的相交关系；若题目中涉及了弦的中点问题，通常通过联立直线方程与椭圆方程，将椭圆与直线相交问题转化为一元二次方程有两个不同的解的问题，且根据一元二次方程的根与系数的关系和中点坐标公式，即可表示出弦的中点坐标,进而求解.

　　13．2

　　【解析】

　　解：由余弦定理可得：4=c2+x2-2cx×cos45°∴c2- 2 xc+x2-4=0

　　∵解此三角形有两解，∴方程有两个不等的正根∴△=2x2-4（x2-4）＞0，且x2-4＞0，√2x＞0∴x2-8＞0，且x2-4＞0，x＞0∴2＜x＜2√2故答案为：2＜x＜2√2

　　14．100

　　【解析】

　　【分析】

　　利用累加法，求出a_n，进而根据a_n=9，求得n的值.

　　【详解】

　　∵a_(n+1)-a_n=1/(√n-√(n+1))=√(n+1)-√n ，

　　∴a_n=a_n-a_(n-1)+a_(n-1)-a_(n-2)+⋯+a_2-a_1+a_1=√n-√(n-1)+√(n-1)-√(n-2)+⋯+√2-√1+0=√n-1

　　∵a_n=9，即√n-1=9，解得n=100

　　故填：100

　　【点睛】

　　本题考查了求数列的通项公式；形如a_(n+1)-a_n=f(n)的数列{a_n }，一般可采用累加法求通项公式： a_n=(a_n-a_(n-1) )+(a_(n-1)-a_(n-2) )+⋯+(a_2-a_1 )+a_1.

　　15．7√2

　　【解析】

　　【分析】

　　利用向量所表示的垂直关系，结合双曲线的定义与直角三角形面积公式，勾股定理，构造方程组，解得c^2-a^2=18. 再利用双曲线a，b，c的关系和离心率公式，求得a,b,c的值，进而求解.

　　【详解】

不妨设点P在双曲线的右支上．设|PF1|=m，|PF2|=n，