类型一　两直线的交点问题

【例1】 求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程.

解　法一　由方程组

解得即l1与l2的交点坐标为(－2，2).

∵直线过坐标原点，∴其斜率k＝＝－1.

故直线方程为y＝－x，即x＋y＝0.

法二　∵l2不过原点，∴可设l的方程为3x＋4y－2＋

λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0.将原点坐标(0，0)代入上式，得λ＝1，∴直线l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0.

规律方法　(1)方法一是解方程组方法，思路自然，但计算量稍大，法二运用了交点直线系，是待定系数法，计算简单，但要注意判断原点(0，0)不能在直线2x＋y＋2＝0上.否则，会出现λ的取值不确定的情形.

(2)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系有两种：①λ1(A1x＋B1y＋C1)＋λ2(A2x＋B2y＋C2)＝0可表示过l1、l2交点的所有直线；

②A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0不能表示直线l2.

【训练1】 求经过直线l1：x＋3y－3＝0，l2：x－y＋1＝0的交点且平行于直线2x＋y－3＝0的直线方程.

解　法一　由得

∴直线l1与l2的交点坐标为(0，1)，

再设平行于直线2x＋y－3＝0的直线方程为2x＋y＋C＝0，

把(0，1)代入所求的直线方程，得C＝－1，

故所求的直线方程为2x＋y－1＝0.

法二　设过直线l1、l2交点的直线方程为

x＋3y－3＋λ(x－y＋1)＝0(λ∈R)，