故当a＞0时，f′(x)存在唯一零点．

(2)证明：由(1)，可设f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零点为x0，当x∈(0，x0)时，f′(x)＜0；

当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0.

故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，所以当x＝x0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0)．

由于2e2x0－＝0，

所以f(x0)＝＋2ax0＋aln ≥2a＋aln .

故当a＞0时，f(x)≥2a＋aln .

4．(2019·贵州适应性考试)已知函数f(x)＝xln x＋ax，a∈R，函数f(x)的图象在x＝1处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直．

(1)求a的值和函数f(x)的单调区间；

(2)求证：ex>f′(x)．

解：(1)由题易知，f′(x)＝ln x＋1＋a，x>0，且f(x)的图象在x＝1处的切线的斜率k＝2，

所以f′(1)＝ln 1＋1＋a＝2，所以a＝1.

所以f′(x)＝ln x＋2，

当x>e－2时，f′(x)>0，

当0

所以函数f(x)的单调递增区间为(e－2，＋∞)，单调递减区间为(0，e－2)．

(2)证明：设g(x)＝ex－f′(x)＝ex－ln x－2，x>0，

因为g′(x)＝ex－在(0，＋∞)上单调递增，

且g′(1)＝e－1>0，

g′()＝e－2<0，

所以g′(x)在(，1)上存在唯一的零点t，

使得g′(t)＝et－＝0，

即et＝(

当0t时，g′(x)>g′(t)＝0，

所以g(x)在(0，t)上单调递减，在(t，＋∞)上单调递增，