[基础达标]

若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝________．

解析：因为f′(x)＝＝，f′(1)＝＝0，所以a＝3.

答案：3

函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点的个数为________．

解析：观察y＝f′(x)的图象，设y＝f′(x)的图象与x轴的交点的横坐标依次为x1，x2，0，x3，则x∈(a，x1)时，f′(x)>0，函数y＝f(x)是增函数；x∈(x1，x2) 时，f′(x)<0，函数y＝f(x)是减函数；x∈(x2，x3)时，f′(x)≥0，函数y＝f(x)是增函数；x∈(x3，b)时，f′(x)<0，函数y＝f(x)是减函数．所以，当x＝x2时，y＝f(x)取得极小值，别无其他极小值．

答案：1

函数f(x)＝aln x＋bx2＋3x的极值点为x1＝1，x2＝2，则a＝________，b＝________．

解析：f′(x)＝＋2bx＋3＝，

因为函数的极值点为x1＝1，x2＝2，

所以x1＝1，x2＝2是方程f′(x)＝＝0的两个根，即为2bx2＋3x＋a＝0的两根．

所以由根与系数的关系得解得

答案：－2　－

已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1既有极大值又有极小值，则a的取值范围为________．

解析：∵f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，

∴f′(x)的图象是开口向上的抛物线，只有当Δ ＝4a2－12(a＋6)>0时，图象与x轴的左交点左、右两侧f′(x)的值分别大于零、小于零，右交点左、右两侧f′(x)的值分别小于零、大于零，才会有极大值和极小值．

∴4a2－12(a＋6)>0得a>6或a<－3.

答案：(－∞，－3)∪(6，＋∞)

已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1，0)点，则f(x)的极大值为________，极小值为________．

解析：∵f(x)与x轴切于(1，0)点，

f′(x)＝3x2－2px－q，

∴f′(1)＝3－2p－q＝0.

又f(1)＝1－p－q＝0，

∴p＝2，q＝－1.

∴f′(x)＝3x2－4x＋1.由f′(x)＝0得x1＝，x2＝1.

当x<时f′(x)>0，f(x)为增函数．

当

当x>1时，f′(x)>0，f(x)为增函数．