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代入上式,得Sn-1Sn-2Sn+1=0.0①
由(1),得S1=a1=1/2,
S2=a1+a2=1/2+1/6=2/3.
由①可得S3=3/4.
由猜想可得,Sn=n/(n+1),n=1,2,3,....
下面用数学归纳法证明这个结论.
当n=1时,a1=S1=1/2,显然成立.
假设当n=k(k∈N+,且k≥1)时结论成立,即Sk=k/(k+1).
当n=k+1时,由①知Sk+1=1/(2"-" S_k ),
∴Sk+1=1/(2"-" k/(k+1))=(k+1)/(k+2)=(k+1)/("(" k+1")" +1).
∴当n=k+1时式子也成立.
综上,Sn=n/(n+1),n=1,2,3,...对于所有正整数n都成立.
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