因为椭圆以A为焦点,且焦点在x轴上,所以c=6,b=4,即16=a2-36,所以a2=52.

　　所以椭圆的标准方程为x^2/52+y^2/16=1.

　　【答案】x^2/52+y^2/16=1

7.已知点P(6,8)是椭圆x^2/a^2 +y^2/b^2 =1(a>b>0)上一点,F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆的两个焦点,若(PF_1 ) ⃗·(PF_2 ) ⃗=0.试求:

(1)椭圆的标准方程;

(2)sin ∠PF1F2的值.

　　【解析】(1)因为(PF_1 ) ⃗·(PF_2 ) ⃗=0,所以-(c+6)(c-6)+64=0,解得c=10,所以F1(-10,0),F2(10,0),

　　所以2a=|PF1|+|PF2|=√("(" 6+10")" ^2+8^2 )+√("(" 6"-" 10")" ^2+8^2 )=12√5,所以a=6√5,b2=80.

　　所以椭圆的标准方程为x^2/180+y^2/80=1.

　　(2)因为PF1⊥PF2,

　　所以S_("△" PF_1 F_2 )=1/2|PF1|·|PF2|=1/2|F1F2|·yP=80,所以|PF1|·|PF2|=160.

　　又因为|PF1|+|PF2|=12√5,且点P(6,8)在第一象限内,所以|PF2|=4√5,

　　所以sin ∠PF1F2=("|" PF_2 "|" )/("|" F_1 F_2 "|" )=(4√5)/20=√5/5.

拓展提升(水平二)

8.已知P为椭圆x^2/16+y^2/12=1上的点,F1,F2为其两个焦点,则使∠F1PF2=90°的点P有(　　).

　　A.4个　　　　 B.2个　　　　 C.1个　　　　 D.0个

　　【解析】设点P(x,y),由(PF_1 ) ⃗·(PF_2 ) ⃗=0,得(x+2)(x-2)+y2=0.因为x^2/16+y^2/12=1,所以x2=-32,无意义,故不存在使∠F1PF2=90°的点P.

　　【答案】D

9.在△ABC中,点B(-2,0),C(2,0),A(x,y),给出△ABC满足的条件,就能得到动点A的轨迹方程,下表给出了一些条件及方程:

条件 方程 ①△ABC的周长为10 C1:y2=25 ②△ABC的面积为10 C2:x2+y2=4(y≠0) ③△ABC中,∠A=90° C3:x^2/9+y^2/5=1(y≠0)

则满足条件①②③的点A的轨迹方程按顺序分别是(　　).

　　A.C3,C1,C2 B.C2,C1,C3

　　C.C1,C3,C2 D.C3,C2,C1

　　【解析】如图,在平面直角坐标系中,

　　因为B(-2,0),C(2,0),

　　若①△ABC周长为10,则|AB|+|AC|=6>4=|BC|,

所以点A的轨迹为以B,C为焦点,长轴长为6的椭圆(去除与x轴的交点),方程为x^2/9+y^2/5=1(y≠0);